初中数学知识点总结
2025-04-29 初中数学知识点总结初中数学知识点总结(范本16篇)。
总结是对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究的书面材料，它可以促使我们思考，为此要我们写一份总结。你所见过的总结应该是什么样的？以下是小编精心整理的新人教版初中数学知识点总结(完整版)，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初中数学知识点总结 篇1
三角形的知识点
1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的分类
3、三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7、高线、中线、角平分线的意义和做法
8、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
推论1直角三角形的两个锐角互余
推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半
10、三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
11、三角形外角的性质
(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;
(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;
(4)三角形的外角和是360°。
四边形(含多边形)知识点、概念总结
一、平行四边形的定义、性质及判定
1、两组对边平行的四边形是平行四边形。
2、性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补
(3)平行四边形的对角线互相平分
3、判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形
4、对称性：平行四边形是中心对称图形
二、矩形的定义、性质及判定
1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2、性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等
3、判定：
(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形
(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形
4、对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
三、菱形的定义、性质及判定
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
(1)菱形的四条边都相等
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形
(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半
2、s菱=争6(n、6分别为对角线长)
3、判定：
(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
(2)四条边都相等的四边形是菱形
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形
四、正方形定义、性质及判定
1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
2、性质：
(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等
(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形
(4)正方形的对角线与边的夹角是45°
(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形
3、判定：
(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等
(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角
4、对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形
五、梯形的定义、等腰梯形的性质及判定
1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。两腰相等的梯形是等腰梯形。一腰垂直于底的梯形是直角梯形
2、等腰梯形的性质：等腰梯形的两腰相等;同一底上的两个角相等;两条对角线相等
3、等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形
4、对称性：等腰梯形是轴对称图形
六、三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的.一半;梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半。
七、线段的重心是线段的中点;平行四边形的重心是两对角线的交点;三角形的重心是三条中线的交点。
八、依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。
九、多边形
1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5、多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。
6、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
7、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
8、公式与性质
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°
9、多边形外角和定理：
(1)n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°
(2)边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°
10、多边形对角线的条数：
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形
(2)n边形共有n(n-3)/2条对角线
圆知识点、概念总结
1、不在同一直线上的三点确定一个圆。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1①(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4、圆是定点的距离等于定长的点的集合
5、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7、同圆或等圆的半径相等
8、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
9、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
10、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
11、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
12、①直线L和⊙O相交d
②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d>r
13、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
15、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18、圆的外切四边形的两组对边的和相等，外角等于内对角
19、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
20、①两圆外离d>R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-rr)
④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含dr)
21、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
22、定理：把圆分成n(n≥3)：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
23、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
24、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
25、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
26、正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长
27、正三角形面积√3a/4a表示边长
28、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
29、弧长计算公式：L=n兀R/180
30、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2
31、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)
32、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
33、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
34、推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
35、弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
初中数学知识点总结 篇2
一、数与代数
a、数与式：
1、有理数：
①整数→正整数/0/负整数
②分数→正分数/负分数
数轴：
①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：
①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：
①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：
①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求n个相同因数a的积的'运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数
平方根：
①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
立方根：
①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
实数：
①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
3、代数式
代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项：
①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、整式与分式
整式：
①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。
②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
幂的运算：am+an=a(m+n)
(am)n=amn
(a/b)n=an/bn 除法一样。
整式的乘法：
①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式两条：平方差公式/完全平方公式
整式的除法：
①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式：
①整式a除以整式b，如果除式b中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
初中数学知识点：直线的位置与常数的关系
①k>0则直线的倾斜角为锐角
②k<0则直线的倾斜角为钝角
③图像越陡|k|越大
④b>0直线与y轴的交点在x轴的上方
⑤b<0直线与y轴的交点在x轴的下方
初中数学知识点总结 篇3
基本定理：
1、过两点有且只有一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、同角或等角的补角相等。
4、同角或等角的余角相等。
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
9、同位角相等，两直线平行。
10、内错角相等，两直线平行。
11、同旁内角互补，两直线平行。
12、两直线平行，同位角相等。
13、两直线平行，内错角相等。
14、两直线平行，同旁内角互补。
15、定理三角形两边的和大于第三边。
16、推论三角形两边的差小于第三边。
17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。
18、推论1直角三角形的两个锐角互余。
19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
21、全等三角形的对应边、对应角相等。
22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
24、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
25、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等。
26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
27、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
28、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）。
31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形。
36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形。
43、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
48、定理四边形的内角和等于360°。
49、四边形的外角和等于360°。
50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°。
51、推论任意多边的外角和等于360°。
52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等。
53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等。
54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等。
55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分。
56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
58、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形。
59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形。
60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角。
61、矩形性质定理2矩形的对角线相等。
62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。
63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形。
64、菱形性质定理1菱形的四条边都相等。
65、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2。
67、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形。
68、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
71、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
75、等腰梯形的两条对角线相等。
76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
77、对角线相等的梯形是等腰梯形。
78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
79、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
80、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
83、(1)比例的基本性质：
如果a：b=c：d，那么ad=bc
如果ad=bc，那么a：b=c：d
84、(2)合比性质：
如果a／b=c／d，那么(a±b)／b=(c±d)／d。
85、(3)等比性质：
如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，
那么(a+c+……+m)／(b+d+……+n)=a／b
86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
91、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）。
92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
93、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）。
94、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）。
95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
96、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比。
98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方。
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合。
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合。
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合。
104、同圆或等圆的半径相等。
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线。
107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线。
109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆
110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
111、推论1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
118、推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
119、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
121、①直线L和⊙O相交d﹤r。
②直线L和⊙O相切d=r。
③直线L和⊙O相离d﹥r。
122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
124、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
125、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等。
128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
135、①两圆外离d﹥R+r。
②两圆外切d=R+r。
④两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)。
⑤两圆内切d=R-r(R﹥r)。
⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)。
136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
137、定理把圆分成n(n≥3)：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n。
140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
141、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4。
142、弧长计算公式：L=n兀R／180。
143、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
144、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)
初中数学知识点总结 篇4
第一章实数
一、重要概念
1、数的分类及概念
数系表：
说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）
2）有标准
2、非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3、倒数：①定义及表示法
②性质：A。a≠1/a（a≠±1）；B。1/a中，a≠0；C。01；a>1时，1/a<1；D。积为1。
4、相反数：①定义及表示法
②性质：A。a≠0时，a≠—a；B。a与—a在数轴上的位置；C。和为0，商为—1。
5、数轴：①定义（“三要素”）
②作用：A。直观地比较实数的大小；B。明确体现绝对值意义；C。建立点与实数的一一对应关系。
6、奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）
定义及表示：
奇数：2n—1
偶数：2n（n为自然数）
7、绝对值：①定义（两种）：
代数定义：
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0，符号“││”是“非负数”的标志；③数a的绝对值只有一个；④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
二、实数的运算
1、运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
2、运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律；[乘法对加法的]
分配律）
3、运算顺序：A。高级运算到低级运算；B。（同级运算）从“左”
到“右”（如5÷ ×5）；C。（有括号时）由“小”到“中”到“大”。
三、应用举例（略）
附：典型例题
1、已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x—a│+│x—b│
=b—a。
2、已知：a—b=—2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。
初三数学知识点第二章代数式
重点代数式的有关概念及性质，代数式的运算
☆内容提要☆
一、重要概念
分类：
1、代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2、整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3、单项式与多项式
没有加减运算的.整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，=x，=│x│等。
4、系数与指数
区别与联系：①从位置上看；②从表示的意义上看
5、同类项及其合并
条件：①字母相同；②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6、根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断；②区别：、是根式，但不是无理式（是无理数）。
7、算术平方根
⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）；
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数；中，a为非负数。
8、同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
初中数学知识点总结 篇5
［摘要］：
随着课程改革的推行，如何培养学生的数学思维能力、提高数学的应用意识，提高数学素养，培养学生的求导思维和创新精神，激发学生的学习数学的兴趣，提高学习效率，提高学生数学问题的解决能力已成为我们每个数学教育者的共识。而初中数学小论文写作正起着重要的作用。
［关键词］：小论文 写作
一、 初中数学小论文写活动的组织活动
所谓初中数学小论文写作活动
①从形式上看它有与学生生活，生产实际密切相联系的，联系实际型数学小论文习作，有对旧知识来源加以考究的旧知识的新探索型数学小论文习作，有对课本知识加以联想的课本知识的引伸型数学小论文习作，有以学生感兴趣的数学知识为素材的趣味型数学小论文习作及对生活中遇到的许多不符合数学知识的错误观点进行批驳的驳斥型数学小论文的习作，
②从数学小论文的写作指导方面看存在普遍性指导（即共性指导）与特殊性指导（即分类指导），所谓共性指导就是对数学小论文写作活动中存在的普遍性问题如选题、资料的收集与整合，论文书写格式进行指导，所谓特殊性指导就是指对每种类型的数学小论文中所特有现象进行分类指导，
③从活动原则上看应由主体性原则过程性原则及示范性原则和开放性原则并存。开展初中数学小论文写作活动，应当在教师适当指导下，学生自主完成。可以据各个环节的时间段与知识结构不同按以下过程进行：
整个过程贯穿合作学习探究的特点，每个环节匀可进行交流，以便更好地改进做法。
二、初中数学小论文的习作类型的活动实践
初中数学小论文就就是初中学生在数学学习中碰到的数学问题，通过资料的搜集整合，最后写成的数学学习的探究性文章。
1、联系实际生活型
这一类型就是以学生实际生活中所遇到的数学问题的为载体，让学生自己观察，思考，总结，概括，研究其数学知识的本质。如：在年初寒假后我们又迎来了一个新的学期，每位同学在春节时得到一笔压岁钱，于就是我们课题组给学生出了一道题为《压岁钱的合理增值和使用》的小论文习作，于就是集大家纷纷议论起来如何来写好这样一篇数学小论文呢，同学们首先想到的就是存入银行，但如何存入较好呢？于就是他们分别各自在银行调查来利率表，合理的增值和使用压岁钱的方案五花八门，观点及论据多得不可胜数，其中有位同学说过五年后上大学时拿出这笔钱来当作学习费用，共设计了8种方案，以1000元为本①每3个月转存一次总额就是1082.25元②每6 个月转存一次总额就是1089..84元③每年转存一次总额就是1093.30元④三个一年期后改为两年期总额就是1096.00元⑤二个一年期后改为一年期总额就是1103..48元⑥两个两年期后改为一年期总额就是1098.70元⑦一个两年期后改为三年期总额就是1106.20元⑧五年定期总额就是1115.20元通过宋一次实践后同学们懂得了数学来源于生活同时也更深深懂得数学更服务于生活。
2、对旧知识的新探索型
由于初中学生数学知识局限，对许多知识的来源与拓展无从着手，因此要收集有关资料对旧知识的来源加以考究，丰富自己的数学知识。对旧知识加以拓展，形成新知识如：零（0）每个学生都认识，自从初中数学把零规定为自然数后就有一位学生他以0为题写出了一篇《说“0”》的数学小论文。他以“0”就是符号就是数学阿拉伯数字中十个基本符号中的一个符号说起到“0”表示一个数，就是整数系统中的不可缺少的数，它就是非正数和非负数，就是唯一的中性数，就是正数与负数的分界点。然后谈到0 就是自然数，从十个为什么中说到零不就是自然数到现在认为0就是自然数及0的奇偶性说到0 与无穷小的，分清无穷小量就是不断变化中的变量而零却就是一个确定的数，这样通过这篇小论文的写作拓宽了学生的知识面。也搜寻到这个“0”的有关知识化了不少时间，把零的知识整理到一块，这样有利于学生这一知识的理解记忆，更难得的就是这位同学还查了《辞海》中对零的定义解释，从中可以看出数学小论文的习作可锻炼人的`态度。
3、趣味型
这一类型则多以学生感兴趣的数学知识为素材，从很大程度上激起学生的好奇心与求知欲，从而激发学生参与数学小论文写作活动的兴趣，提高学习与小论文的写作效率，如有一位同学在学习直角三角形的勾股定理后联想到构成勾股数的简单方法，他认真地观察每组勾股数的 ①3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41┉②6、8、10；8、15、17；10、24、26┉
他从中总结出规律，第①小组最小数为奇数，其它两个为连续正整数，第②小组最小数为偶数时另外两个数相差2的正整数，故他设A，B，C为一组勾股数时总结出 ①A为偶数时A=2N+2；B=N（N+2）；C=B+2（N为正整数且N≥2）②A为奇数时A=2N+1；B=2N（N+1）；C=B+1（N为正整数）。从中可以看出这位同学的观察能力及综合概括能力的提高，正就是这样一小小的勾股数激发了同学们的学习兴趣，也培养了他们的洞察能力与概括能力。
4、驳斥型
在学生的学习与生活中过程中会遇到许多不符合数学知识常规的错误观点他们会用数学的知识加以批判与驳斥，然而我们可以对此引导，归纳。叫同学们自己总结经验从而可以写出数学小论文与大家交流，从而增加知识面，增加交流机会，有助于协作学习，如有位同学在学不等式后对一道题的正确的质问写成了数学小论文习作，题目为“把一堆苹果分给了几孩子，如果每个人分了三个则分8个，如果每分5个则最后一个得到的苹果数不足3个，求出孩子与苹果 的个数”而课本中求解为：解设有x个孩子则苹果数就是（3x+8）个由题意可得3x+8≤5（x—1）+3所以x≥5故x取5， 6，7，8，9。即可求苹果数，而这位同学则认为“不足3”应理解为“大于或等于零且小于3”故不等式改为0≤3x+8—5（x—1）<3∴5 5、课本知识的引申型 学生在学习课本知识之后会据课本的知识的结构与自己的经验及收集到的有关资料的提示，对课本的课本知识进行联想思考得出可讨论的问题然后可以进行论述，如在学习全等三角形判定公理与直角三角形全等的判定定理“HL”定理后联想到“钝角三角形全等判定的特例”在这篇小论文习作中他写出了“在两个钝角三形中有最大边与另一条边及钝角也对应相等那么这两个钝角三角形全等，并且它用证明的方法证之为正确，他从直角三角形为判定特例联想而来的，从而也用前面学过的直角三角形全等及全等三角形的判定公理给予了证明，事实这一切也只不过就是简单的举措，但在许多同学中就没有如此丰富的联想，而这位同学自从进行了初中数学小论文写作以后，遇事认真，态度诚恳，又动了脑筋，从而丰富了想象力，联想不断，终于有上述这一篇结构新颖、题材突出的小论文展现在我们的眼前，从此这位同学的数学学习兴趣非常浓厚，数学成绩一直领先。 总而言之通过对初中数学小论文写作活动的实践研究建立起一整套的理论依据。使我们数学教育者及学习者有较可靠的方法去对数学知识的理解，能力与技巧的理解与掌握，从数学小论文的创作过程中获得和提高，使初中数学小论文写作活动真正发挥激励、交流、导向、激发学生的学习兴趣，加强学生的学习方法的掌握，并大面积提高学生素质，形成良好的学习习惯和学习态度。 1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。 3.一元一次方程解法的一般步骤：整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1 ……（检验方程的解）。 4.列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套—————”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。 （2）画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的.关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。 11.列方程解应用题的常用公式： （1）行程问题：距离=速度·时间； （2）工程问题：工作量=工效·工时； （3）比率问题：部分=全体·比率； （4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度—水流速度； （5）商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价—成本，； （6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），S长方形=ab，C正方形=4a， S正方形=a2，S环形=π（R2—r2），V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥= πR2h。 本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。 1、不在同一直线上的三点确定一个圆。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4、圆是定点的距离等于定长的点的集合 5、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7、同圆或等圆的半径相等 8、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的'圆 9、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12、①直线L和⊙O相交d ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d>r 13、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 15、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18、圆的外切四边形的两组对边的和相等，外角等于内对角 19、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20、 ①两圆外离d>R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-rr) ④两圆内切d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr) 1.通过猜想，验证，计算得到的定理： （1）全等三角形的判定定理： （2）与等腰三角形的相关结论： ①等腰三角形两底角相等（等边对等角） ②等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一） ③有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） （3）与等边三角形相关的结论： ①有一个角是60°得等腰三角形是等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③三条边都相等的三角形是等边三角形 （4）与直角三角形相关的.结论： ①勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 ②勾股定理逆定理：在一个三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形 ③HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等 ④在三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 2.两条特殊线 （1）线段的垂直平分线 ①线段的垂直平分线上的点到线段两边的距离相等互为逆定理 ②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ③三角形的三条垂直平分线交于一点，并且这一点到这三个顶点的距离相等 （2）角平分线 ①角平分线上的点到这个角的两边距离相等互为逆定理 ②在一个角的内部，并且到这个角的两边距离相等的的点，在这个角的角平分线上 3.命题的逆命题及真假 ①在两个命题中，如果一个命题的条件与结论是另一个命题的结论与条件，我们就说这两个命题互为逆命题，其中一个是另一个的逆命题 ②如果一个定理的逆命题是真命题，那么他也是一个定理，我们称这两个定理为互逆定理 ③反正法：从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件，定理相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，使命题获得了证明 初中数学基础知识点 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 初中数学平行四边形的性质知识点 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等; (2)平行四边形的邻角互补，对角相等; (3)平行四边形的对角线互相平分; 3.平行四边形的'判定 平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分： 第一类：与四边形的对边有关 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 第二类：与四边形的对角有关 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 第三类：与四边形的对角线有关 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形 初中数学函数知识点总结 1.一次函数 (1)定义：形如y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx(k为常数，k≠0) 所以，正比例函数是特殊的一次函数。 (2)一次函数的图像及性质： 1在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。 2一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)。 3正比例函数的图像总是过原点。 4k，b与函数图像所在象限的关系： 当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。 当k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限; 当k>0，b<0时，直线通过一、三、四象限; 当k<0，b>0时，直线通过一、二、四象限; 当k<0，b<0时，直线通过二、三、四象限; 当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。 2.二次函数 (1)定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，)，称y为x的二次函数。 (2)二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0); 顶点式：y=a(x-h)^2+k(抛物线的顶点P(h，k)); 交点式： (3)二次函数的图像与性质 1二次函数的图像是一条抛物线。 2抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。 3二次项系数a决定抛物线的开口方向。 当a>0时，抛物线向上开口; 当a<0时，抛物线向下开口。 4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。 5抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点; Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点; Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 3.反比例函数 (1)定义：形如y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。 (2)反比例函数图像性质： 1反比例函数的图像为双曲线; 当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数; 当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数; 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 2由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 比值与比的概念 比值是一个具体的数字如：AB/EF=2 而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一(预备定理) 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明) 方法二 如果一个三角形的'两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 方法三 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 方法五(定义) 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 三个基本型 Z型A型反A型 方法六 两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。一定相似的三角形 1、两个全等的三角形 (全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1) 2、两个等腰三角形 (两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。) 3、两个等边三角形 (两个等边三角形，三角都是60度，且边边相等，所以相似) 4、直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形) 图形的学习需要大家对于知识的详细了解和渗透，而不是一带而过。 摘 要：课堂是教师教授知识、学生学习知识的重要场所，在这里不仅要让学生掌握基本的数学知识与技巧，而且还要锻炼学生的能力，提高学生的素质水平等等。因此，在新课程改革的推动下，教师要更新教育教学观念，采用多样化的教学模式，充分发挥学生的自主性，使学生逐步成为课堂的主人，从而大大提高学生的学习效率。 关键词：初中数学；高效课堂；生活；自主 追求课堂教学的高效是每个教师不断追求的目标，而所谓的高效课堂是指教育教学效率或效果能够有相当高的目标达成的课堂，具体而言是指在有效课堂的基础上，完成教学任务和达成教学目标的效率较高、效果较好并且取得教育教学的较高影响力和社会效益的课堂。所以，在数学教学中，我们在初中数学新课程理念的指导下，采用多样化的教学模式，打造和谐的数学课堂，调动学生的学习积极性，进而打造出高效率、高效益的数学课堂。 一、创设生活情境，调动学习热情 陶行知先生曾说：生活即教育，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。所以，在教学中，教师要根据教材内容的'需要，将学生熟悉的生活情境引入课堂，使学生在直观形象的情境中激发学习的热情，进而为高效课堂的实现奠定基础。 例如，在教学《实际问题与二次函数》时，函数是中学阶段一个非常重要的内容，初中阶段的函数学习也为学生进入高中阶段的数学打好了基础。因此，为了提高学生的学习效率，在授课的时候，我首先让学生思考了这样一个问题：某商店销售一种商品，每件的进价为2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件，请分析，销售单价多少时，获得的利润最大。 对于初中生来说，他们也非常清楚，作为一个商人追求利润最大化是再正常不过的了，但是如何实现利润最大就需要依靠数学知识进行计算获得，所以，在学生熟悉的情境中引入课堂一方面可以调动学生的学习积极性，另一方面可以让学生在思考问题的过程中更好地进入课堂活动当中，从而为实现高效的数学课堂做好前提工作。 二、开展自主学习，激发探究意识 《义务教育数学课程标准》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”所以，在新课程理念的指导下，教师可以开展自主学习课堂，充分发挥学生的主动性，使学生在自主思考、自主分析的过程中找到探究数学的乐趣。因为我们都非常清楚，作为主体的学生如果缺少乐趣，缺少兴趣的话，即便是教师教学方法再丰富多彩要想实现课堂的高效都是非常困难的。因此，在授课的时候，我们要创设自主学习的平台，使学生在这个平台上自由地发挥和展示自己的个性。 例如，在教学《圆和圆的位置关系》时，我采取的是先学后教的教学模式，充分发挥学生的主体性，使学生自主感受数学概念、定理、定律的形成，逐步拉近学生与数学教材之间的距离。因此，在正式授课的时候，我首先让学生明白本节课的主要学习目标：①掌握圆和圆的五种位置关系。②观察两圆位置关系的变化过程，感受在两圆的各种关系中两圆的半径与圆心距之间的数量关系，从而得到图形的“位置关系”与“数量关系”之间的联系。接着教师对学生在自主学习过程中存在的问题进行点拨，以加深学生的印象，提高学生的学习效率。 除上述之外，教师要及时进行反思，因为它是促使教师的教学参与更为主动、专业发展更为积极的一种手段和工具，是改进教学、促进教学质量提高的有效途径。因此，在新课程改革的推动下，教师要创建多样化的教学活动，逐步让学生成为课堂的主人，活跃课堂氛围，为实现高效的数学课堂提供保障。 参考文献： 杨光明。如何打造高效数学课堂［Ｊ］。青少年日记：教育教学研究，2011（10）. 动点与函数图象问题常见的四种类型： 1、三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 2、四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 3、圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 图形运动与函数图象问题常见的三种类型： 1、线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 2、多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的`关系，进行分段，判断函数图象。 3、多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 动点问题常见的四种类型： 1、三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。 2、四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系。 3、圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。 4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 总结反思： 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键。 解答动态性问题通常是对几何图形运动过程有一个完整、清晰的认识，发掘“动”与“静”的内在联系，寻求变化规律，从变中求不变，从而达到解题目的。 解答函数的图象问题一般遵循的步骤： 1、根据自变量的取值范围对函数进行分段。 2、求出每段的解析式。 3、由每段的解析式确定每段图象的形状。 对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点： 1、自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示。 2、自变量变化函数值也变化的增减变化情况。 3、函数图象的最低点和最高点。 1、正数和负数的有关概念 (1)正数：比0大的数叫做正数; 负数：比0小的数叫做负数; 0既不是正数，也不是负数。 (2)正数和负数表示相反意义的量。 2、有理数的概念及分类 3、有关数轴 (1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。 (2)所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。 (3)数轴上，右边的数总比左边的数大;表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。 (2)相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。 若a、b互为相反数，则a+b=0; 相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 (3)绝对值最小的数是0;绝对值是本身的数是非负数。 4、任何数的绝对值是非负数。 最小的正整数是1，最大的负整数是-1。 5、利用绝对值比较大小 两个正数比较：绝对值大的那个数大; 两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。 6、有理数加法 (1)符号相同的两数相加：和的符号与两个加数的符号一致，和的'绝对值等于两个加数绝对值之和. (2)符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值;当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零. (3)一个数同零相加，仍得这个数. 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 7、有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 8、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写. 例如：14+12+(-25)+(-17)可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17，可以读作“正14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和.” 9、有理数的乘法 两个数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。 第一步：确定积的符号 第二步：绝对值相乘 10、乘积的符号的确定 几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负; 当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。 11、倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。(互为倒数的两个数符号一定相同) 倒数是本身的只有1和-1。 1、有理数 （1）凡能写成（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数） （2）有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 （3）自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。 2、数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 （2）注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； （3）相反数的`和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。 4、绝对值 （1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。 （2）绝对值可表示为|a|。 （3）|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a|·|b|=|a·b|）。 5、有理数比大小 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。 6、互为倒数 乘积为1的两个数互为倒数。（注意：0没有倒数；若a、b≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。 7、有理数加减法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 8、有理数加减的运算律 （1）加法的交换律：a+b=b+a。 （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 9、有理数乘法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。 10、有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同零相乘都得零。 （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。 11、有理数乘法的运算律 （1）乘法的交换律：ab=ba。 （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）。 （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。 12、有理数除法法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：零不能做除数） 13、有理数乘方的法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。注意：当n为正奇数时：（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n，当n为正偶数时：（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n。 14、乘方的定义 （1）求相同因式积的运算，叫做乘方。 （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。 （3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0，则a=0，b=0。 （4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。 15、科学计数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。 16、近似数的精确度 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。 17、有效数字 从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。 18、混合运算法则 先乘方，后乘除，最后加减。注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则。 19、特殊值法 是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法，但不能用于证明。 （一）数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数。 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项： ①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 ②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 ③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式： ①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。 ②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 ③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN除法一样。 整式的乘法： ①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。 ②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式/完全平方公式 整式的除法： ①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。 ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式： ①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。 ②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式的运算： 乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 加减法： ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。 分式方程： ①分母中含有未知数的方程叫分式方程。 ②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程： ①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高次数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 已经学过二次函数（即抛物线）了，对它也有很深的了解，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了。 2）一元二次方程的解法 二次函数有顶点式（-b/2a，（4ac-b2）/4a），这个顶点公式一定要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以它也有自己的一个解法，利用它可以求出所有的一元一次方程的解。 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，再用直接开平方法去求出解。 配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解。 分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a公式法。 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在解题中很常用。 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况： I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III当△<0时，一元二次方程没有实数根； 2、不等式与不等式组 不等式： ①用符号>，=，<号连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：A>B，A+C>B+C 在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）。 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号。 所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 3、函数 变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。②当B=0时，称Y是X的正比例函数。 一次函数的图象： ①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当K<0，B ④当K>0时，Y值随X值的增大而增大，当X<0时，Y的值随X值的增大而减少。 （二）空间与图形 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面： ②图形是由点，线，面构成的。 ②面与面相交得线，线与线相交得点。 ③点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠： ①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。 ②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。 截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形： ①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。 ②圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线： ①线段有两个端点。 ②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。 ②将线段的`两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。 ④经过两点有且只有一条直线。 比较长短： ①两点之间的所有连线中，线段最短。 ②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示： ①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。 ②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。 角的比较： ①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。 ②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。 ③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行： ①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 ②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 ③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。 垂直： ①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 ②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。 垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后，一定要把线段穿出2点。 垂直平分线定理： 性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。 判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上。 角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。 定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点。 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 正方形：一组邻边相等的矩形是正方形。 性质定理：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 判定定理： 1、对角线相等的菱形； 2、邻边相等的矩形。 3、相交线与平行线 角： ①如果两个角的和是直角，那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。 ②同角或等角的余角/补角相等。 ③对顶角相等。 ④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。 4、三角形 ①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 ③三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。 ④三角形三个内角的和等于180度。 ⑤三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。 ⑤直角三角形的两个锐角互余。 ⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 ⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。 ⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。 ⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。 图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。 全等三角形： ①全等三角形的对应边/角相等。 ②条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。 5、四边形 平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ③平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ④平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别相等的四边形/定义。 菱形： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 梯形： ①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。 ②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。 ③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。 多边形： ①N边形的内角和等于（N-2）180度。 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。 中心对称图形： ①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。 ②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 B、图形与变换： 1、图形的轴对称 轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 轴对称图形： ①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 ③等腰三角形的“三线合一”。 轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。 2、图形的平移和旋转 平移： ①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 ②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。 旋转： ①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 ②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。 3、图形的相似 如：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=……=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比例【（根号5-1）/2】。 相似： ①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 ②相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似三角形： ①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 ②条件：AAA、SSS、SAS。 相似多边形的性质： ①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。 ②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 图形的放大与缩小： ①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 C、图形的坐标 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。他们分4个象限。XA，YB记作（A，B）。 D、证明 定义与命题： ①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。 ②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。 ③每个命题是由条件和结论两部分组成。 ④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。 公理： ①公认的真命题叫做公理。 ②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。 ③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS、ASA、SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。 ④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。 （三）统计与概率 1、统计 科学记数法：一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。 扇形统计图： ①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。 ②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。 各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 近似数字和有效数字： ①测量的结果都是近似的。 ③利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 ④对于一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把（X1+X2+…+XN）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X（X上边一横）。 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 中位数与众数： ①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 ②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。 ③优劣：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。 调查： ①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。 ②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。 频数与频率： ①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 ②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。 2、概率 可能性： ①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。 ②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。 ③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。 概率： ①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。 ②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。 ③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0 一、角的定义 “静态”概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 “动态”概念：角可以看作是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角;平角的一半叫直角;大于直角小于平角的角叫做钝角;大于0小于直角的角叫做锐角。 二、角的.换算：1周角=2平角=4直角=360°; 1平角=2直角=180°; 1直角=90°; 1度=60分=3600秒(即：1°=60′=3600″); 1分=60秒(即：1′=60″). 三、余角、补角的概念和性质： 概念：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角。 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角。 说明：互补、互余是指两个角的数量关系，没有位置关系。 性质：同角(或等角)的余角相等; 同角(或等角)的补角相等。 四、角的比较方法： 角的大小比较，有两种方法： (1)度量法(利用量角器); (2)叠合法(利用圆规和直尺)。 五、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线。把这个角分成相等的两部分，这条射线叫做这个角的平分线。 常见考法 (1)考查与时钟有关的问题;(2)角的计算与度量。 误区提醒 角的度、分、秒单位的换算是60进制，而不是10进制，换算时易受10进制影响而出错。 【典型例题】(20xx云南曲靖)从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是() 【答案】3时到6时，时针旋转的是一个周角的1/4，故是90度，本题选C.初中数学知识点总结 篇6
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