代数和方程思想总结

代数和方程思想总结(分享18篇)。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

一、教材分析

1．教材分析

我选取的是浙教版七上实验教材第四章第二节，课题为《代数式》，本节是在完成了实数数集的扩充，了解了字母表示数后，进一步学习代数式及列代数式．从数到式是学生认识上“质”的飞跃，是研究方程、不等式、函数等数学知识的基础，可以说本节是“代数”之始．同时，本节课所渗透的特殊到一般的辨证思想和数学建模的思想方法，对学生今后的数学学习和发展都有非常重要的意义．据此，我确定本节课的教学重点为：代数式的概念及用代数式表示常用的数量关系．

2．学情分析

在本节内容学习之前，学生已具有了如下的“现有发展区”．但对初一新生来说，从“数”到“式”这种认识上的飞跃没有足够的心理准备，对用字母表示数的理解还不深刻，尤其是数学的应用意识和应用能力还较弱，所以用代数式表示实际问题中的数量关系会感到难于理解．据此，我认为本节课的教学难点为：用代数式表示实际问题中的数量关系．

二、教学目标

根据学习任务分析和学生认知特点，我从三方面确定本节课的教学目标：

知识与技能目标的“了解”、“运用”与“发展”是根据课程标准的要求和学生原有的认知、能力水平来确定的．

过程、方法目标和情感、态度目标是根据本节教材的独特性、抽象性，突出“非智力因素”的培养而确定的，以使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展．

三、教法与学法

根据以上分析，为了充分发挥学生“现有发展区”的积极作用，帮助学生解决“最近发展区”的认知矛盾，促成“最近发展区”向“目标发展区”转化，依据美国著名心理学家加德纳的多元智能理论和波利亚的问题解决理论，我确定本节课的教学方法为以问题解决为主的情境教学法，融入地方文化、参观情景、导游角色、问题解决等元素，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的一般规律；并附以实物和多媒体教学，创设有趣、直观的教学情景，激发学习兴趣，烘托重点．

在学法上引导学生采用“融、验、探、合”四字学习法，即融入情景，在情景中快乐学习；体验过程，在过程中建构知识；自主探索，在探索中培养品质；合作交流，在交流中获取经验，充分发挥学生的主体性，变“学会”为“会学”．

四、课堂结构设计

根据问题解决的一般过程，我把这节课的课堂结构设计为以下5个环节，下面对教学过程设计作详细的说明．

五、教学过程设计

1.创设情境，引出问题

我先引导学生欣赏鲁迅纪念馆的一组照片，简单介绍鲁迅其人其事，结合金秋十月，营造秋游氛围，并请学生做导游，教师用富有激情的语言激励学生，做好一名导游可得解决旅程中的许多问题．

如此创设情景，是因为绍兴是鲁迅的故乡，把鲁迅做为背景，可以迅速激发学生的自豪感和学习的兴趣，并渗透了乡土人文教育．同时，旅程的开始也就意味着学习的开始．

在“导游”这个角色的促使下，学生自然会积极主动地思考旅程中遇到的一系列问题:

首先是出发时的行程问题，学生很快进行了解决，教师把所得算式收藏到收藏箱中．到了纪念馆门口，自然遇到了买门票问题．

此时，可通过分析，让学生感知( 60a +40b)所代表的普遍意义．

进入参观后，根据纪念馆的情况又出现了一系列问题，学生一一进行解决．如此设计可使问题与情境有机相融，同时教师又充分考虑到了样例形式的丰富性，使学生意识到学习代数式的必要性．教学时应引导学生正确书写，指出书写的简约美．

接下来教师把收藏箱里的式子全部展示出来，并引导学生观察这些旅程中所得的算式：略，提出问题：它们与我们以前学过的算式有什么区别呢?

使学生造成认知上的冲突，激发其探究的内驱力．

2.对比析误，感知问题

从而水到渠成地得到概念.教师在板书概念后点出课题．

此时学生对代数式只是一个感性认识，于是我又设计了如下的辨析题，通过析误帮助学生区分可能会与代数式混淆的几个关系式，从而加深对代数式构成的理解，使学生的认识有感性上升到理性．

至此学生已经历了代数式概念产生的整个过程，完成了特殊到一般的转化，教学的一个重点已得到了妥善的处理．而教学的另一个重点是用代数式表示数量关系，我打算从列代数式和编代数式两方面让学生进行探索．首先是列：

3.双向建构，探索问题

（1）．大家一起来列式：

列是要求学生把文字语言转化为符号语言，考虑到学生转化时可能在关键词意义理解、运算顺序等方面容易出错，我对课本例题进行了重组，并精心设计了变式题，让学生通过对比、辨析，理解关键词的意义，分清运算顺序．教学时应鼓励学生大胆尝试，通过析误让他们得到内化，形成经验．我又及时安排了巩固练习，使学生在练习和集体评析中掌握列式技能，体念成功乐趣.接下来让学生创造性地编代数式，并用文字语言进行描述，再赋予代数式实际背景和几何意义，并在小组合作的基础上通过视频展示台进行交流．

（2）．聪明才智共编式

如此设计的意图，是为了让学生从文字语言到符号语言，再从符号语言到文字语言两方面进行建构，强化代数式的概念，提高列式技能，突出了重点．估计此时学生会编出各种不同的代数式，教师要一一予以肯定，尤其是要乘机对学困生进行鼓励和赞赏，让他们感受成功的喜悦，增加学习的信心．可能有些学生会感到困难，而小组合作与交流为他们聆听他人思维，产生共鸣创造了一个很好的平台．由于不同生活经验的学生可以对同一代数式作出不同的解释，如５ａ可赋予不同的背景，所以此问题的设计为不同的人在数学上得到不同的发展创造了条件，同时让学生体会到代数式的模型思想，达到分散难点的目的．此时学生的思维应该非常活跃，交流此起彼伏，达到了预设中的小高潮．

为乘机促使思维进一步发展，让学生跳一跳能摘到桃子，我设计了如下的探究活动．

4.合作交流，解决问题

（1）．开动脑筋齐探索

请学生以小组为单位，选取下列的1个主题，先自主探索，再在组内交流．然后通过视频展示台展示研究成果．

主题１是为了培养学生动手操作和规律探索能力，渗透特殊到一般的思想而设置的．估计学生对此题会有不同的解决方法，从而得到不同的代数式，教师要细心聆听学生的讲解，充分肯定小组合作的成果，并点明这些代数式最后都可化为同一形式，为后续内容学习埋下伏笔．

主题２是为了让学生感受数学美，渗透数学人文和数形结合思想，并为勾股定理等后续内容的学习打下基础．

在此把研究性学习引入课堂，是为了给学生思考、探究、发现和创新提供最大的空间．同时通过展示研究成果，师生共同从语言表达、动手操作、参与合作等方面进行评价，使同学们在多元评价中感受自主探究的乐趣．预计这里又能达到一个高潮．

（2）游戏之中验真知

经过前面的两次高潮，估计学生的思维已有些疲劳，根据注意的转移规律，借鉴中央台的非常6+1栏目,我设计了游戏活动-砸金蛋．8个金蛋内设计了5个题目和3朵彩花，其中问题的顺序已作了充分的预设，不管怎么砸，问题都按照先简后难的固定顺序出现，从而使高层次的问题在思维最活跃时得到解决．

此游戏的开展，吸引了学生的有意注意，舒缓了疲劳，起到了课堂调节剂的作用，使学生在愉快活跃的氛围中主动参与知识的巩固、深化过程，仿佛学中玩，玩中学．最后一题的情境设计突出了参观主线，并暗示参观已结束，进入返程．而在乘车返校途中，又自然而然地引出了实际问题：

（3）返程路上解疑问

如此设计，使问题与情境相融，做到首尾呼应，参观情节贯穿整节课．在讲解时可引导学生在观察动画演示的基础上先独自解决，后请学生代表作分析，以暴露思维过程，教师应及时进行鼓励和评价，使学生在问题解决的过程中体会成功的喜悦．其中拓展问题的设计为下节课的学习作了铺垫．

5.反思小结，拓展问题

（1）．你说我讲共交流

小结由师生互动完成，我引导学生从以上几方面进行交流．前三方面对应了本节课的三维目标，第四方面的设计能促使学生进行全面反思，使课堂得到延升．

（2）．课后延伸促提高

作业分为阅读作业、书面作业和拓展作业，其中根据学生的发展情况，书面作业又分为必做题和选做题，如此设计的目的，是为了使不同的人在数学上得到不同的发展.

板书预设如下，最后从预设和生成两个方面对本案设计作补充说明．

六、设计说明

1．预设

（1）．教学特色：本节课的设计是以问题为主线，以“参观”为形式，参观情境贯穿整节课，而实质是数学本质的渗透，抽象的数学学习与有趣的参观情境有机相融，让学生在这个特殊的＂旅程＂中感受地方人文，体念学习过程，体会思想方法，突出了数学学习的生活化，使学生真正成为课堂的主角．

（2）．重、难点的处理：

突出重点措施：

①．通过列式——比较——辨别——概括等环节，让学生经历代数式概念的产生过程，

②．通过“由文字语言到符号语言”再“由符号语言到文字语言”让学生从正反两方面双向建构．

突破难点策略：

①．分三步分散难点：引入时大量的实际情景，让学生体会到代数式存在的普遍性；让学生给自己构造的一些简单代数式赋予实际意义，进一步体会代数式的模型思想；通过“主题研究”等环节进一步提高解决实际问题的能力．

②．适时安排小组合作与交流，使学生在倾听、质疑、说服、推广的过程中得到“同化”和“顺应”，直至豁然开朗，突破思维的瓶颈．

2．生成

预设为生成服务，本案编代数式、主题研究等环节的设计为学生精彩的生成提供了很好的平台，在实际教学过程中，教师要注重生成信息的捕捉，善于发现学生思维的亮点，及时进行引导和激励，并根据具体教学对象，适当调整教与学，使教学过程真正成为生成教育智慧和增强实践能力的过程．让预设与生成齐飞．

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

大家好！今天我说课的题目是《义务教育课程标准实验教科书· 数学》（人教版）七年级上册第五章第二节《代数式》这一课的内容。根据《课程标准》对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生的实情，我将本节课分为五部分：教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析，几点说明。

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

1.代数式是学生在学习了用字母表示数的基础上，进一步拓宽知识，是对上一节内容的深化，通过这节课要培养学生合理、规范、准确的数学表达方式和书写习惯，这是体验数学的美感和锻炼数学逻辑思维的必不可少的步骤。

2.代数式既是有理数的概括与抽象，又是整式运算的基础，也是学习方程及函数知识的基础。列代数式即用字母把数和数量关系简明地表示出来，结合学生已有的生活经验使学生的思维实现由数到式的飞跃，数学的文字语言与符号语言的转换，它可以帮助人们从数量关系的角度更清晰地认识、描述和把握现实世界，使学生体验到数学与现实生活的密切联系。

（二）教学目标及确立的依据

本教案力求通过富有吸引力、生动有趣的教学过程，充分体现以“教师为主导，学生为主体”的教学原则，调动学生的积极性，在教学中，引导学生自主探究，合作交流，引导学生在获取知识的过程中，学会观察、探究、概括、表达等数学方法，所以本节课我确定了三个教学目标。

1.知识目标：通过实例让学生经历代数式概念的产生过程，了解代数式的概念，学会用代数式表达简单的数量关系，深化符号感，掌握代数式的有关书写格式。

2.能力目标：通过丰富的例子使学生体验从语言叙述到代数表示，从代数表示到语言叙述的双向过程，能解释一些简单的代数式的实际背景或几何意义，培养学生的分析问题能力、数学语言表达能力、自主学习的能力、合作与探究的意识。

3.情感目标：提供多个实际生活情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，在合作交流中享受广阔的思维空间。通过列代数式表示生活中简单的数量关系使学生体验到代数式的实际意义及建模思想方法的实际应用价值，与同学互动过程中学会和人交流和合作，体验互相支持互相关怀的美好情感。

(三）教学的重点及难点

1.教学重点：代数式的概念和如何根据文字的意义列代数式。

2.教学难点：学生自己构造现实情境，去解释不同代数式的意义。

突破重难点的方法是：通过探究性教学方法激发学生兴趣和好奇性，引导学生积极主动地去领悟新知识，并让学生在主动思考探究的过程中自然地获取知识，去亲身体会学习知识的过程，从而加强学生主动探索，敢于发现的科学精神，充分运用多种教学手段，设置问题，探究讨论，例题讲解，课后小结，布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点。

二、教法分析

1.学生以自主合作的方式为主进行学习，教师以启发等方式进行引导，课堂以小组合作学习为主要的教学组织形式。遵循因材施教，循序渐进以及理论联系实际的原则，突出体现了“全面参与、全员参与、全程参与”与“自主性、互助性、创造性”的教学思想，逐步培养了学生运用基本的数学思想方法去发现问题、分析问题和解决问题的能力，全面提高学生的综合素质。

2.通过“激发兴趣、引入新课，观察联想、形成概念，应用拓展、巩固概念，反思辩论、深化概念，纵横发散、智能升级，学以致用、运用知识，自我反思、课外拓展”的教学程序，优化教育教学过程，提高教学三位目标的达成度。

三、学法分析

古人言：“授人以鱼，供一饭之需，教人以渔，则终身受用无穷。”教给学生如何学是教师的职责。因此在本节课的教学中，让学生主动观察、比较、分析、讨论、交流，使学生的手、脑、嘴充分调动起来，在轻松愉快的课堂气氛中亲身体验知识的形成过程。

四、教学过程分析

（一）创设情境，授之以欲

师（热情地）：同学们喜欢做游戏吗？老师今天就来和同学们做一个猜数的游戏好不好？下面我来讲解一下游戏的规则--同学们任意想好一个数，不要说出来，然后先把向好的这个数乘以2结果加上8，再除以2，最后减去所想的数。现在由老师猜同学们的计算结果（教师同时给几个学生发放事先写好答案的纸条）。请这几位同学告诉大家，老师猜的对吗？谁能找到老师猜对答案的奥秘呢？

用字母表示数是跨入代数大门的第一步，代数的重要特点是广泛地应用字母表示数，它是数学发展的一个飞跃，是我们进一步研究和解决许多数量关系的基础。我国古代“代数思想”的出现是领先世界的（可向学生简单介绍代数学的发展史），我们在为先人做出的成就感到骄傲的同时，也要反思一下未来我国数学发展的责任要落到谁的肩上你？大家想不想进一步学习知识呢？

【设计意图】

创设愉悦宽松的游戏氛围，让学生在完全放松的情绪下感知生活，增加新鲜感，激发学生兴趣，锻炼学生的反应能力，体会代数式的重要意义。产生学习代数的兴趣，激发学习数学的热情，同时也进行了思想及责任感教育。教育家霍姆林斯曾经说过：如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲惫。

（二）形成概念，授之以渔

１.实例引领

例：用代数式表示（１）乙数比甲数大３；（２）甲乙两数的和为１０；（３）甲数是乙数的５倍；（４）乙数比甲数的平方少２.（５）某班有共青团员m名分成两个小组，第一组有x人，第二组由有多少人？（5）已知正方体盒子的棱长为b厘米，则该盒子的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？

（学生独立完成，请一生板演答案，师生共同纠错，重点强调做题的细节，如（4）题中的括号不能漏掉，（5）题中用乘方来表示）

【设计意图】英国数学教育心理学家斯根普指出：概念教学应该从大量实例出发，用实例直观地帮助完成定义而不是就定义教定义。因此，教师在课本已有的加、减、乘、除的基础上适当地增加了两个实例，（4)是减法运算，（5）是乘方运算，这位后面概括代数式的意义及代数式的书写规则做了一定的准备，并进一步体现了字母代数的数学思想，有利于突破教学难点。

2.概念生成

（1）观察：上述问题中出现的式子：a+3,10-a,1/5a……这些都称为代数式。

（教师指导学生观察，小组讨论并发言，应适时进行点拨，目的是让学生归纳出上述式子的共同特点，并总结出怎样的式子是代数式。

（2）联想：如50，a等单独的一个数或者一个字母是不是代数式？（学生思考讨论并举手发言）

（3）质疑：何为运算符号？运算符号是+，-，*，/，乘方，开方。而=，大于，小于，等等是关系符号而不是运算符号，凡由这些符号连结的式子都不是代数式而符号两边的式子是代数式。

（4）归纳：

代数式的特征

a.代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成;

b.单独一个数或字母也是代数式.

c.代数式中不含等号和不等号。（学生归纳，教师板书，概括要点和关键字）

【设计意图】此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的。

3.巩固联系，联系实际，贴近生活

学生独立做课本上第120页1题，两生板演答案，师生共同纠正书写问题。

【设计意图】设计此练习，让学生积极主动自我尝试、剖析、修正和反思，使其真正理解代数式概念的内涵。让学生能在实际情境中准确地用代数式解决实际问题，并记住相关题目对学生进行勤俭节约教育和刻苦学习的教育。

（三）自我归纳，授之以鱼

1.结合上面的练习中出现的问题，组织学生思考小组讨论后总结出代数式的书写规则，请代表发言补充.

（探索归纳出）书写代数式请注意以下几点：

（1）x×y×z通常写为x·y·z或xyz（乘号省略）

（2）把数字写在字母的前面，如6*b常写作6·b或6b。如果数字是带分数的要写成假分数。

数字和数字之间相乘用*

（3）10÷m通常写作 （除号用分数线表示）

（4）若最后结果是加减关系的须写单位时，则将整个式子括起来再写单位。

（5）相同字母或因式的积，要写成乘方的形式。

2.补充练习

下列代数式中符合书写要求的是A.xy2 B.1-x C.-x2y D.xy/2

【设计意图】一是培养学生勤于动脑思考，善于总结归纳的良好数学思维品质和语言表达能力；二是可使学生运用批判性的思维找出代数式书写中的错误，进一步加深理解代数式的书写规则。

3.纵横发散，自主创新

人人来当老师

(1).请同学们用10x+5y赋予实际生活背景或几何背景设计一道数学题！

（教师可类比英语中的英汉互译，使学生明白此题与前面的练习是一个双向的过程，是互逆思维，鼓励学生结合生活经验大胆想象出此代数式的实际背景.)

(2).抛砖引玉，分组竞赛

让学生结合生活经验对下列代数式做出解释。a+b,ab,6p.

【设计意图】通过同一代数式让学生说出不同的生活意义，以培养学生的发散思维能力和语言表达能力，培养学生的自主创新精神。

4.学以致用，关爱生命

例：现代营养专家用身体质量指数来判断人体的健康状况。这个指数等于人体质量（千克）与人体身高（米）平方的商。一个健康的人身体质量数在20-25之间，身体质量指数低于18属于不健康的瘦，高于30属于不健康的胖。（1）设一个人的质量w（千克）身高为h(米）求他的身体质量指数。（2）老师的身高是1.60米，体重是55千克，帮老师计算一下我的身体状况属于哪一类型？（3）请同学们判断自己的身体状况属于哪一类型？

【设计意图】人们越来越关注生活质量，关注健康，此应用题的教学使学生体验到数学与现实生活的密切联系。同时也为下一节列代数式及后面要学习的代数式的值做延伸和铺垫。

（四）课堂小结

1、谈谈你的收获；

2、谈谈你的疑问，

3、解疑。

（小组畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价）

【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而不所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力。

（五）分层作业，自由拓展

（1）必做题：课本105页2、3题

（2）选做题：课本121页1题

【设计意图】由于学生在知识、技能、能力等方面的发展不尽相同，所以分层次布置课外作业，兼顾学习有困难的和学有余力的学生，使他们都能达到数学标准中规定的基本要求并使部分学生能发展他们的数学才能。

五、几点说明

1.板书设计

（1）代数式的特征

（2）书写代数式请注意以下几点

（3）补充练习

2.时间安排

（1）创设情境，授之以欲 (5分钟）

（2）形成概念，授之以渔（15分钟）

（3）自我归纳，授之以鱼（15分钟）

（4）课堂小结 （5分钟）

3.设计特色

在探究过程中确保学生主体作用得到充分发挥，让学生从被动学习到主动学习、自主学习，让学生从接受知识到探究知识，真正焕发教学活力，让他们自己往前走，自己去锻炼去创造。

始终把素质教育思想渗透在课堂教学中，始终做到面向全体学生，关注个性差异，让每个学生在生动活泼的学习气氛中获取知识，提高能力，发展智力，培养正确的情感态度和价值观。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

1、加强自身基本功的训练，注重对学生能力的培养;

2、对学困生多些关心爱心和耐心，使他们在各方面有更大进步。

3、加强守纪方面的教育，使学生不仅在课堂上集中注意力学习，课下也要按校纪班规严格约束自己。

4、教育学生要注意保持环境卫生，增强主人翁意识和责任感。

5、利用各种方法，训练学生提高、集中注意力。

6、在教学上狠下功夫，努力使学生的道德修养有更大的提高。

教育工作，是一项常做常新、永无止境的工作。社会在发展，时代在前进，学生的特点和问题也在发生着不断的变化。作为有责任感的教育工作者，必须以高度的敏感性和自觉性，及时发现、研究和解决学生教育和管理工作中的新情况、新问题，掌握其特点、发现其规律，尽职尽责地做好工作，以完成我们肩负的神圣历史使命。在课程改革推进的今天，社会对教师的素质要求更高，在今后的教育教学工作中，我将立足实际，认真搞好教学，创造性地开展学校的教育教学工作，争取在学校领导、师生的支持下，使自己的工作有所开拓，有所进取，进而更加严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点，开拓前进，为美好的明天奉献自己的力量。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

一、模型思想的概念

模型思想是指运用数学语言对现实世界的事与物的各类特征、数量关系以及空间形式进行描述，模型思想简单而言是一种数学思想.新课标要求在开展数学教学过程中，要培养学生的模型思想，这不仅可以有效地让学生更好地理解数学知识，还可以促进学生与外部世界的联系.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，通过模型求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义.利用好这种模式，可以促进学生初步形成模型思想，并有效地提高其学习数学的兴趣；有利于学生初步形成模型思想，提高其学习数学的积极性与热情.我们在开展初中数学教学过程中，可以将数学符号、表达式以及图表作为数学模型的主要表达形式，从这个特征可以发现，模型思想与符号化思想存在着一定的相似点，两者都属于基本化思想.对于初中生而言，我们只需把日常生活中的某些问题转换成抽象的数学问题，运用数学知识解决数学问题，再返回到日常生活中进行检验，这个过程就是我们所说的数学建模.

二、初中“，方程”教学渗入模型思想的作用

1“方程”的教学内容

初中教学内容主要由数、式、方程、函数等组成.方程在整个教学内容以及教学设计中有着非常重要的作用，不仅衔接着数与式的学习，还为后续的不等式以及函数的学习提供了基础.按教学大纲以及新课标的要求，方程在整个初中数学教学中是学生学习的一个难点，同时也是教师教学的一个重点.根据大纲以及新课标的要求，笔者归纳了初中方程教学的内容，主要包括以下几个方面的教学内容：一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程和可化为一元一次方程的分式方程等，其中还包括各类方程的解法以及运用每一类方程（组）解决实际问题，内容大致又分为方程（组）的概念、各类方程的解法及方程与实际问题等.

2“.方程”教学渗入模型思想的作用

新课标中明确地指出，初中数学教学需利用课堂教学激发学生的学习热情与积极性，需结合教学任务创新能够引起学生进行数学思考的教学内容.教学过程中，要培养学生的创新意识，从而提高学生的创造性思维.前面有所提及，初中数学教学的重点之一为方程教学，而且方程教学的内容具有非常明显的模型思想，因此，我们可以把模型思想渗入整个初中方程教学当中，这样不仅有利于培养学生的应用意识，还可以激发学生学习数学的兴趣，能有效地提高初中方程教学的质量.

三、基于模型思想的初中“方程”教学设计

我们在开展模型思想教学设计时，要想让学生能够真正地理解其基本思想，需要一个长期练习的过程，而且整个过程需要遵循从简到繁的原则.只有这样，才能让学生把具体的事物进行抽象化，逐渐掌握数学建模的方式.经过不断的练习才能让学生习惯性地遇到数学问题时，运用模型思想来进行数学思维.同时，我们在开展模型思想的初中方程教学设计时，还需结合学生的实际情况进行设计，从而确保模型思想在初中方程教学中的作用.下面笔者就通过一个教学案例来阐述整个教学设计的思想以及方法.

1.设计问题，导入新课

我们为了能顺利地开展方程教学，需引导学生抽象出方程相关概念.教师可以结合教学内容，运用多媒体向学生展示教师设计出的相关内容，这些辅助教学设备，同样可以激发学生的学习热情与积极性，能让我们的教学设计更好地吸引学生.在这个环节中，我们可以运用创设问题情境的方式来导入我们所设计的教学内容.比如：现在接近五一劳动节了，许多超市都在打折促销，那我们知道什么是打折活动吗？这些商家打折的目的是什么？如果他们打折之后比原来销售的价格要低，这些商家还会赚钱吗？通过学生日常生活中经常见到的事物进行问题设计，可以给予学生更多的思考空间，因为这与他们的生活息息相关，自然可以吸引到学生的注意，同时也能激发其兴趣.

2.提出问题，引导学生建立模型

在我们所设计的教学环节中，有了前面的问题，就可以引导学生进行建模活动了.比如：使用多媒体制作一组超市相关的图片，模拟与学生一起在超市中购买的场景，然后展示出某个商品正在进行八折的促销活动，这时可以再提出问题：假设这件打折的商品标价为200元，现在我们花多少钱就可以买到这件商品？如果我们已经知道这件商品的进价为90元，那么销售这件商品，商家可以赚到多少钱？这个学习过程就是要引导学生依照实际问题，进行数学建模活动，利用方程模型，正确地解决实际问题.

3.分组讨论，引入正确建模过程

有了前面的铺垫，到了这个教学环节，我们要组织学生开展数学建模活动.教师可以设置问题，如：如果现在超市里把某商品按照成本价提高20%，再以八折的优惠来进行促销，假设某件商品可以赢利18元，请问该商品的'成本价为多少？假设该商品的成本价为x元，我们还可以用含有x的代数式表示其他的量吗？在刚才所提问题的内容中，含有什么等量关系？

4.加强练习难度，深化模型思想

到了这个教学环节，我们可以深化学生的数学模型思想.在这个环节中，我们可以适当提高问题的难度，可以激发学生的求知欲，引导学生进行假设，并且要通过自己的努力来解决问题.比如：一台笔记本电脑按进价提高了30%标价，刚好遇到五一节，商家进行打折促销，按原价的七折进行销售，现在每台笔记本电脑的售价为4800元，请问这台笔记本电脑的成本价是多少？商家销售出一台电脑可以获利多少？随着问题的提出，教师可以组织学生进行分组讨论，引导学生利用方程模型来解决，让学生意识到模型思想在我们生活中的重要性，从而提高学生学习数学的兴趣.

5.总结知识重点，加深模型思想

学生经过前面的学习，已经对一元一次方程有了一个非常清晰的了解，教师应该在这个教学环节中帮助学生梳理知识，以加深印象.教师可以设计以下几个问题让学生思考：

（1）对于今天我们学习的知识，你有什么收获？

（2）运用一元一次方程解决实际问题时，正确的建模活动过程是什么？

6.布置不同层次作业，巩固所学知识

通过前面知识的引导与学习，教师在这个环节中要布置相应的作业，以此巩固学生今天所学到的知识.笔者建议教师根据学生的不同层次来进行分层布置，从而有效地体现出新课标的教学理念，这有利于不同层次的学生得到相应的发展.下面是笔者根据不同层次学生设计的课后作业，分为必做题和选做题两个层次。

必做题

（1）超市把某件商品在进价的基础上提高了30%，然后以九五折进行销售，已知该商品的销售价格是700元，请问这个商品的进价为多少？

（2）苏宁电器五一活动，把原标价为3700元的冰箱以八折进行销售，打折后商家要达到8万元的销售额，那么相比打折以前，销量应增加多少台？

选做题

（3）由于某手机更新换代，手机商家决定打折出售低版本手机.已知现在低版本手机的售价为5600元，新款手机的售价为7800元.假设低版本手机亏本10%，新版本手机赢利25%，请问手机商家是赢利还是亏本？假如赢利，求出赢利额；假如亏本，求出亏本额。

总之，数学知识源于生活，我们在进行初中方程教学设计时，要结合学生的实际生活，不断地挖掘出问题情境，让学生真正理解数学问题生活化的意义.数学思想方法本身就是一个非常抽象的概念，我们只有通过不断地设计出优秀的教学内容，才能更好地培养学生的模型思想，提高初中方程教学质量。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

A finite group G is called PN-group if G is not nilpotent and for every p-subgroup P of G, there holds that either P is normal in G or P C Z∞(G) or NG(P) is nilpotent, p ∈π(G).In this paper, we prove that PN-group is meta-nilpotent, especially, PN-group is solvable. In addition, we give an elementary, intuitionistie, compact proof of the structure theorem of PN-group.

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

一、政治思想总结

我参加工作已经有五年的时间了,在这期间我坚持不断地学习理论知识、总结工作经验，培养自身思想修养，努力提高综合素质，严格遵守公司和项目部各项规章制度，完成了自己岗位的各项职责，在这里将自己的思想、工作、学习情况简要的总结如下：

(一)加强专业知识学习、提高工作素质、不断为行业做贡献

在从事施工现场监理工作之前，我在其他项目部从事过其他岗位上的工作，但无论在什么岗位我始终以饱满的热情对待自己的工作，勤勤恳恳、尽职尽责、踏踏实实的完成自己的本职工作。土建施工现场工序复杂，工序交叉多、突发事件比较多，这些都要求我要对设计图纸内容、行业规范要求有较为熟悉的了解与掌握，同时还应具有较强的理论知识。五年的工作实践中，我十分注意对施工过程中产生的模棱两可的地方进行积累与总结，既增加工作经验另一方面也对自己技术水平的提高，更重要的是自己在工作岗位上有这样的工作机会，是领导和同事们信任和支持的结果。正因如此，我将更加珍视自己的岗位，以无比的热情与努力争取更大的进步!除此之外，自己在政治思想方面也更加进步和成熟了。自己的转变与进步，是项目部领导的培养、同事们的支持及通过自身的努力才取得的。在今后的工作中，我还有很多方面(政治思想、理论知识、工作水平)等需要不断的学习和加强，同时注意加强政治修养，进一步提高自己的思想认识。(二)严以律己、宽以待人

参加工作五年以来，我在平时工作中，始终严格要求自己，模范遵守公司和项目部的各项规章制度，时刻严格要求自己，有条不紊地做好各项工作，努力起得表率作用，协助大家开展各项工作。我认真遵守公司的学习制度，积极参加公司组织的各项学习活动，在政治思想觉悟和对党的认识上均得到了进一步提高。通过系列的学习与批评和自我批评活动后，我的思想认识得到了提高，并且工作的责任心得到了加强。

(三)认识自身不足、提高自身修养

我也很清楚自己还存在很多的不足与缺点，自我总结及领导同志们的批评和指导对我今后的提高是十分必要的，我的缺点与不足自己总结可有以下几点：○1在工作过程中，缺乏大胆管理的主动性，今后我应加强学习不断提高自己的管理

水平，工作中不断总结经验;○2工作中对同事们的关心不够。我这方面的缺点，同志们曾给我指出过，所以我还需进一步努力改进;○3对现期工作与后期工作衔接安排不够合理，对前后工序矛盾预判不足。(四)发扬学习精神、提高政治觉悟

在今后工作中，还需树立刻苦学习的精神，提高自己的政治素养和过硬的专业素质。只有理论上的清醒才会带来政治上的坚定。而只有勤奋学习，才能具有坚定的政治信念和评判是非曲直的具体标准。国家领导人一再号召全党要“学习、学习、再学习”，指出学习不仅可以增加知识，提高思想理论水平，而且可以充实精神世界，修养道德情操。作为一名参加工作仅仅一年半的普通公民，我一定得好好把握这个原则，切实地把理论学习作为自己的第一需要。学习理论，要与实际紧密地结合起来，要以我国改革开放和现代化建设的实际问题、要以我们正在做的事情为中心，着眼于马克思主义的运用，着眼于对实际问题的理论思考，着眼于新的实践与发展，要做到理论与实际、主观与客观的真正统一，在改造主观世界的同时，改造客观世界。在本职工作中还有加强专业理论的学习，刻苦钻研与建筑方面密切相关的法律法规知识，并且要提高电脑应用相关技能知识和会说、会写的能力。若想写文章的时候，立意谋篇、谴词造句都要过硬，这是个长期积累的过程，无论何时都要坚定决心，坚持学习锻炼，与时俱进。

除上述之外，在平时繁忙的工作业余之闲在我开始关注并学习我国先进教育活动，相信自己能够严格按照即定学习计划进行深入地、有步骤地学习。我通过集中学习、讨论及个人自学，对先进性教育活动的重大意义和作用有了进一步的认识，使我真正认识到在当今新形势下如何保持和显现自己在群众中的先进性;认识到凭什么、怎么样才能在群众中发挥先锋模范作用;认识到每个公民应时时刻刻发挥战斗堡垒作用，时刻提醒自己是一名中华人民共和国公民，要时刻牢记党国誓言，在日常工作中做到不骄不躁，要经常深入群众，接受群众监督，虚心听取群众的批评和建议，不断地完善自己，全心全意为社会服务。通过政治思想方面的学习，自己也了解到了自身工作当中的一些不足之处，比如理论学习不系统、不深入，政治素养不够硬。主要表现在一是政治理论学习的主动性、计划性不强，较少从个人和工作实际出发，有计划、有重点、有针对性地安排学习。再如理论联系实际不够，政治理论学习限于蜻蜓点水，抓得不紧，笼统学、通读的多，系统学、精读的少，满足于学过、看过。这些问题都基于对马克思主义的基

本理论缺乏深入、系统的学习，对其进行深层次的研究和探讨不够。

回顾这一段时间的工作,我基本完成了本职工作，这与领导的支持和同事们的帮助是分不开的，以上是我参加工作五年时间以来对工作思想方面的总结，不全面和不准确的地方，请批评、指正。总之，面对新的要求、新的任务，自己要振奋精神，加倍努力，出色完成各项工作任务。二、个人业务工作总结

我于20xx年8月2日至20xx年11月10日在广东广信监理有限公司惠州金果弯项目部、于20xx年11月20日至20xx年8月5日在广东鸿轩集团阳江市第六建筑工程有限公司佛山盈汇酒店等项目部、20xx年8月12日至今在浙江江南工程管理股份有限公司广州大功率项目部参加工作。

我在公司领导及各位同事的支持与帮助下，严格要求自己，按照公司和项目部的要求，较好地完成了自己的本职工作。在此对公司各位领导及各位同事表示衷心的感谢，感谢公司给我一个展示自己的机会。通过这段时间的工作与学习，在专业技能上、思想上都有了较大的改变，现将这五年以来的工作情况总结如下：

(一)工作阶段的认识与学习

1.开工前，认真学习相关规范、仔细审阅本工程设计图纸，力求对所施工内容做到心中有数，并按规范要求严格执行。

2.施工过程中严格控制成品、半成品及原材料，必须有出厂合格证及产品说明书。合格证为抄件的，要由原件存放单位的资料负责人加盖转抄章方能有效。有复试要求的必须按规范要求做复试报告，合格后方可使用。工程中主要设备材料、成品、半成品进场后，按规范要求进行检查，并及时填写材料报验单，并按照设计图纸及施工验收规范要求，提供材料相关质量证明文件。

3.严格控制材料的应检项目。水泥在使用前，必须做体积安定性的测试。水泥在使用过程中，如发现受潮结块或超过三个月的龄期，严禁使用或通过实验室鉴定降低标号使用。另外，玻璃幕墙、石材幕墙、塑钢门窗等的三性试验均符合要求。砖砌体的拉结筋严格按照设计图纸及施工验收规范施工，同时做好隐蔽记录。

3.在开展工作之前做好个人工作计划，有主次的先后及时的完成各项工作，达到预期的效果，保质保量的完成工作，工作效率高，同时在工作中学习了很多东西，也锻炼了自己，经过不懈的努力，使工作水平有了长足的进步，开创了工作的新局面，为公司及部门工作做出了应有的贡献。

(二)加强自身学习，提高专业知识水平

通过从事五年的施工现场技术管理工作，使我认识到自己的学识、能力和阅历还很欠缺，所以在工作和学习中不能掉以轻心，要更加投入，不断学习，向书本学习、向周围的领导学习，向同事学习，只有通过了解自身的不足再加以弥补才能使自己的专业综合水平有一个进步。我经过不断学习、不断积累，已具备了一定的施工现场技术管理工作能力，接下来的工作历程中，自己会以正确的态度对待各项工作任务，热爱本职工作，认真努力贯彻到实际工作中去。除此之外，还需积极提高自身各项专业素质，争取工作的积极主动性，具备较强的专业心，责任心，以便提高工作效率和工作质量。

(三)存在的问题和今后努力方向

通过从事一年多的施工现场技术管理工作，本人能敬业爱岗、不怕吃苦、积极主动、全身心的投入工作中去，在这期间取得了一些成绩，但也存在一些问题和不足，主要表现在：○1对设计图纸的设计意图理解层次还不够深入，有些还只停留在图纸表面;○2对设计图纸自身的不妥之处及在使用功能方面所造成的不利影响估计能力不强;○3对施工过程中的常见通病及预防措施力度不够;○4对施工质量缺陷的补强措施办法不多;○5在工作密度比较大的时候显得工作顺序安排不够合理;

在以后的工作与学习中，自己决心努力提高自身专业知识水平，加强责任心，进一步为项目部保质保量地完成施工内容贡献自己的一份力量。在今后工作期间，我想我还应努力提高以下几点能力表现：

○1加强学习，拓宽知识面。除此之外，还要进一步学习专业知识，多向领导及同事等有经验的人请教。

○2加强与人的沟通交流能力、加强对行业综合发展的了解、学习;○3本着实事求是的原则，积极做好自己的本职工作，做事情要有条有理、不拖拖拉拉;

○4遵守公司内部规章制度，维护公司利益，积极为公司创造更高价值，力争取得更大的工作成绩。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

教学内容：义务教育课程标准实验教科书第12册92页整理与反思和练习与实践1-6题。

教学目标：

1.使学生进一步理解用字母表示数的作用和等式的性质，体会用字母表示数的简洁性，渗透初步的代数思想。在比较中进一步加深对方程、方程的解及解方程的区别、方程与等式的关系的理解。

2.使学生进一步掌握axb=c、axb=c、axb=c、axbx=c等形式的方程解法，培养学生自觉检验的良好习惯。

3.使学生进一步掌握列方程解决实际问题的基本思考方法，提高学生分析理解数量关系的能力，体会列方程解决实际问题的方便性。

教学重点、难点：用字母表示数和解简易方程。

教学设计：

一、用字母表示数

1.复习用字母表示数。

我们知道，用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式．为研究和解决问题带来很多方便；我们通过下面的例子。边回忆、边总结以前学过的内容和方法。

大家先想一想。在一个含有字母的式子里．数字与字母、字母与字母相乘，应该怎样写?例如，a乘以4.5可以怎样写?s乘以h可以怎样写?(a乘以4.5可以写成a4.5或a4.5或4.5a。不可以写成a4.5.s乘以h可以写成S．h或Sh)

指出：除了不能写成a4.5以外。其他都是对的。

例l、用a表示单价，x表示数量，c表示总价．写出下面的数量关系式。

(1)已知单价和数量．求总价的公式；

(2)已知总价和数量，求单价的公式：

(3)已知总价和单价。求数量的公式：

(4)如果每文圆珠笔的价钱是3.75，要计算买8支圆珠笔要用多少钱，应该用上面的哪个公式?

巡视时，注意观察学生用的字母和公式的写法是否正确、发现遗忘的要及时辅导，并纠正错误。写完后，集体订正。

2.做教科书第92页第1题。

二、简易方程

1.复习方程的概念。

（1）出示复习题：下列等式，哪些是方程，哪些不是方程?并说明理由。

18+25=435x+4x+8=35x-2

43－183=63x+5＝7a+4

我们知道含有未知数的等式叫做方程。方程的特征是：它含有未知数，同时又是个等式。

（2）提问：方程与等式有什么联系和区别？

指出：方程一定是等式，但等式不一定是方程。可以用集合图表示给学生看。

（3）举例说说什么是等式的性质？你怎样理解同时、同一个数、0除外这些词的？利用等式的性质可以做什么？

（4）说一说方程的解与解方程有什么区别？

2.复习解简易方程。

例：解下列方程，并写出检验过程。

3X+5＝75X+4X+8=35

学生做题时．教师巡视。注意帮助有困难的学生和及时纠正错误。

在解方程的过程中。我们主要是应用了加、减、乘、除法中各部分间的关系和一些运算定律。

3.做教科书第92页上面的第2题。

教师引导学生分别按照复习的过程叙述和小结复习的内容。

三、复习列方程解应用题

1、说出下面各题中数量之间的相等关系。

（1）养禽场一共养鸡鸭600只。

（2）红花比黄花少25朵。

（3）参加航模组的人数是参加美术组的3倍。

（4）花金鱼比黑金鱼的1.2倍还多8条。

2、完成P92第35题。

（1）读题

（2）找出相等的数量关系式

（3）列出方程

（4）计算并检验

3、P93第6题。

课前让学生了解自己穿的鞋的码数和厘米数，课上完成时出示码数和厘米数之间的换算关系后，让学生验证这种换算关系正确与否，后引导学生分析知道厘米数求码数与知道码数求厘米数通常应各采用什么方法解，再让学生独立解答填表，最后全班交流。

四、补充

1、在（）里写出含有字母的式子。

（1）3个x相加的和（），3个x相乘的积（）。

（2）一批煤有a吨，烧了8天，平均每天烧m吨，还剩（）吨。

（3）一个圆柱底面半径为r，高为h，它的体积v=（）。

（4）松树高y米，杨树比松树的3/4少5米，杨树高（）米。

（5）小明今年a岁，小华今年b岁，经过x年后，两人相差（）岁。

2、判断。

(1)方程一定是等式，等式一定是方程。（）

(2)方程两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍然是方程。（）

(3)畜牧场养了600头肉牛，比奶牛的2倍多80头，求奶牛有多少头?可以列式为6002+80。（）

3、选择。

（1）下面的式子中，（）是方程。

A、25xB、15－3=12C、6x＋1=6D、4x＋7＜9

（2）x=3是下面方程（）的解。

A、2x＋9=15B、3x=4.5C、18.8x=4D、3x2=18

（3）当a=4，b=5，c=6时，bc-ac的值是()。

A、1B、10C、6D、4

（4）五年级种树60棵，比四年级种的2倍少4棵。四年级种树（）。

A、26棵B、32棵C、19棵D、28棵

4、列方程解答下面各题。

（1）养鸡场一共养鸡650只，其中母鸡的只数是公鸡的1.6倍，养鸡场养母鸡多少只？

（2）学校开展兴趣小组活动，参加书法组的有36人，比美术组的2.5倍少9人，参加美术组的有几人？

(3)甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的3倍，如果从甲桶取出28千克，乙桶加入4千克，这时两桶油的重量相等，甲、乙两桶原来各有多少千克油？

课前思考：

本课时的复习内容有两大块：用字母表示数和方程，就教材而言，我们在整理与反思中需要帮助学生系统整理这两块内容。当然在整理与反思的环节中可以穿插进行教材提供的配套练习，这样更能帮助学生理解相关内容。沈老师的复习课的设计体现了这样的做法，我也会按这样的教学思路来上本节复习课。

在复习用字母表示数中，需要帮助学生理一理，特别是有些注意点要强调。如：在含有字母的乘法算式里，乘号可以省略不写或用.表示，但数和数相乘时，乘号不能省略。数字和字母相乘省略乘号时，一般把数字写在字母前面。1与任何字母相乘时，1都省略不写。注意2a与a2的区别。

在复习方程时，除了复习方程的意义、等式的性质和解方程、列方程解决实际问题外，还要在解方程时突出检验的重要性，在列方程解决问题时突出书写格式和检验方法并要结合教材提供的列方程解决实际问题帮助学生了解一般哪些实际问题适合列方程解答。

沈老师补充了很多较实用的配套练习，估计课上来不及完成，还需另找时间组织学生练习。

课后反思：

本节课复习时主要围绕两个内容：1、是用含有字母的式子表示数与数量关系；2、是方程的意义与解方程。由于用字母表示比较抽象，所以在复习时也出现了类似孙老师所讲的那种问题，这些问题的出现正好可以进一步对这些知识进行查漏补缺。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

2．1常微分方程建模的应用举例

正如前文所述，常微分方程的思想重点是对那些过程描述的变量问题进行数学建模，从而解决实际的变化问题，这里举一个例子来说明。例1人口数量变化的逻辑斯蒂数学方程模型在18世纪的时候，很多学者都对人口的增长进行了研究，英国的学者马尔萨斯经过多年的研究统计发现，人口的净相对增长率是不变的，也就是说人口的净增长率和总人口数的比值是个常数，根据这一前提条件建立人口数量的变化模型，并且对这一模型进行分析研究，找出其存在的问题，并提出改进措施。解:假设开始的时间为t，时间的间隔为Δt，这样可以得出在Δt的时间内人口增长量为N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)对于这种一阶常微分方程可以采用分离变量法进行求解，最终解得N(t)=N0er(t－t0)而后将过去数据中的r、N0带入上述式子中就可以得出最后的结果。这个式子表明人口数量在自然增长的情况下是呈指数规律增长的，而且把这个公式对过去和未来的人口数量进行对比分析发现还是相当准确的`，但是把这个模型用到几百年以后，就可以发现一些问题了，例如到2670年的时候，如果仍然根据这一模型，那么那个时候世界人口就会有3．6万亿，这已经大大的超过了地球可以承受的最大限度，所以这个模型是需要有前提的，前提就是地球上的资源对人口数量的限制。荷兰的生物学家韦尔侯斯特根据逻辑斯蒂数学方法和实际的调查统计引入了一个新的常数Nm，这个常数就是用来控制地球上所能承受的最大人口数，将这一常数融入逻辑斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)该方程解为N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一个新的数学模型建立后，首先要做的就是验证它的正确性，经过研究发现在1930年之前的验证中还是比较吻合的，但是到了1930年之后，用这个模型求出的人口数量就与实际情况存在很大的误差，而且这一误差呈现越来越大的变化趋势。这就说明当初设定的人口极限发生了变化，这是由于随着科学技术的不断进步，人们可以利用的资源越来越多，导致人口极限也呈现变大的趋势。

2．2差分方程建模的应用举例

如前文所言，对于离散型问题可以采用差分方程的方法建立数学模型。例如以25岁为人类的生育年龄，就可以得出以下的数学模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即为yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r为固有增长率，N为最大容量，yk表示第k代的人口数量，若yk=N，则yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡点。令xk=r(r+1)Nyk，记b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)这个方程模型是一个非线性差分方程，在解决的过程中我们只需知道x0，就可以计算出xk。如果单纯的考虑平衡点，就会有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，则x*=rr+1=1－1bx因为f'(x*)=b(1－2x*)=2－b，当|f'(x*)|＜1时稳定，当|f'(x*)|＞1时不稳定。所以，当1＜b＜2或2＜b＜3时，xkk→仯仯仭∞x*．当b＞3时，xk不稳定。2．3偏微分方程建模的应用举例在实际生活中如果有多个状态变量同时随时间不断的变化，那么这个时候就可以考虑采用偏微分方程的方法建立数学模型，还是以人口数量增长模型为例，根据前文分析已经知道建立的模型都是存在一定的局限性的，对于人类来说必须要将个体之间的区别考虑进去，尤其是年龄的限制，这时的人口数量增长模型就可以用以下的式子来表示。祊(t，r)祎+祊(t，r)祌=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t时候处于r岁的人口密度分布情况，μ(t，r)表示的r岁人口死亡率，φ(t，r)表示r岁人口的迁移率，β(r，t)表示r岁的人的生育率。除此之外，式子中的积分下限r1表示能够生育的最小岁数，r2表示能够生育的最大岁数。根据人口数量增长的篇微分方程可以看出实际生活中的人口数量与年龄分布、死亡率和出生率都有着密不可分的关系，这与客观事实正好相吻合，所以这一个人口增长模型能够更为准确地反应人口的增长趋势。当然如果把微分方程中的年龄当做一个固定的值，那么就由偏微分方程转化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就变成了Verhulst模型。偏微分方程在实际生活中的应用也相当广泛，物理学、生态学等多个领域的问题都可以通过建立偏微分方程来求解。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

中考代数式和因式分解题汇总

一、选择题

、 满足 .则下列式子一定成立的是

(A) (B) (C) (D) 【答案】D。

【考点】代数式变形，完全平方公式。

【分析】∵ 由 得 。故选D。

2.(河北省2分)下列分解因式正确的是

A、﹣ + 2 ﹣4 +2=2( ﹣2 )

C、 2﹣2 +1=( ﹣1)2

【答案】D。

【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案：

A、﹣ + 3=﹣ (1﹣ 2)=﹣ (1+ )(1﹣ )，故本选项错误;

B、2 ﹣4 +2=2( ﹣2 +1)，故本选项错误;

C、 2﹣4=( ﹣2)( +2)，故本选项错误;

D、 2﹣2 +1=( ﹣1)2，故本选项正确。

故选D。

3.(河北省2分)下列运算中，正确的是

A、 + 4= 5

C、(﹣ 2 =x2

【答案】D。

【考点】合并同类项，幂的乘方与积的乘方，整式的除法。

【分析】A中整式相减，系数相减再乘以未知数，故本选项错误;B、不同次数的幂的加法，无法相加，故本选项错误;C、整式的幂等于各项的幂，故本选项错误;D、整式的除法，相同底数幂底数不变，指数相减.故本答案正确。故选D。

4.(山西省2分)下列运算正确的是

A. B. C. D. 【答案】A。

【考点】幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法。

【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则对各选项计算后利用排除法求解：

A. ，本选项正确;

B. ，故本选项错误;

C. ，故本选型错误;

D. ，故本选项错误。故选A。

赤峰3分)下列运算正确的是

A. B. C. D. 【答案】A。

【考点】同底幂乘法和除法，合并同类项，完全平方公式。

【分析】根据同底幂乘法和除法，合并同类项，完全平方公式运算法则逐一计算作出判断：

A. ，选项正确; B.2 和3 不是同类项，不好合并，选项错误;

C. ，选项错误; D. 选项错误。故选A。

6.(内蒙古呼和浩特3分)计算2x2(﹣3x3)的结果是

A、﹣﹣2x6

【答案】A。

【考点】单项式乘单项式，同底数幂的乘法。

【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案：

2x2(﹣3x3)=2(﹣3)(x2x3)=﹣6x5。故选A。

7.(内蒙古呼伦贝尔3分)下列各式计算正确的

A. B. C. D.

【答案】C。

【考点】合并同类项，同底幂乘法，二次根式化简，乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法，二次根式化简，乘方运算法则逐一计算作出判断：

A. ，选项错误; B. ，选项错误;

C. ，选项正确; D. ，选项错误。故选C。

8.(内蒙古乌兰察布3分)下列计算正确的是

A . B C D 【答案】A。

【考点】幂的乘方，合并同类项，同底幂乘法和除法。

【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底幂乘法和除法运算法则逐一计算作出判断：

A . ，选项正确; B 和 不是同类项，不好合并，选项错误;

C ，选项错误; D 选项错误。故选A。

二、填空题

1.(北京4分)若分式 的值为0，则 的值等于 ▲ .

▲句怡美jYm1.cOM优质必藏:
• 思想总结 | 说说分享 | 百家争鸣和儒家思想总结 | 18早安 | 代数和方程思想总结 | 代数和方程思想总结

【答案】8。

【考点】分式的值为零的条件。

【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0，分母0，可以求出 的值：解 ﹣8=0，得 =8。

2.(北京4分)分解因式： ▲ .

【答案】 。

【考点】提公因式法与公式法因式分解。

【分析】先提取公因式 ，再利用完全平方公式继续分解： 。

3.(北京4分)在下表中，我们把第i行第j列的数记为 i，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数 i，j，规定如下：当ij时， i，j=1;当i

1，11，21，31，41，5

2，12，22，32，42，5

3，13，23，33，43，5

4，14，24，34，44，5

5，15，25，35，45，5

【答案】0，15，1。

1，1=11，2=01，3=01，4=01，5=0

2，1=12，2=12，3=02，4=02，5=0

3，1=13，2=13，3=13，4=03，5=0

4，1=14，2=14，3=14，4=14，5=0

5，1=15，2=15，3=15，4=15，5=1

【考点】分类归纳。

【分析】由题意，从i与j之间大小分析，很容易求出表中各数：

从而得出 1，3=0。表中的25个数中，共有15个1。

并计算：

1，1 i，1+ 1，2 i，2+ 1，3 i，3+ 1，4 i，4+ 1，5 i，5

=11+0 i，2+0 i，3+0 i，4+0 i，5 =1。

赤峰尔3分)因式分解：a2﹣6a+9= ▲ .

【答案】(a﹣3)2。

【考点】运用公式法因式分解。

【分析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的`两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解：a2﹣6a+9=(a﹣3)2。

赤峰3分)化简 的结果是 ▲ .

【答案】1。

【考点】分式的混合运算，平方差公式。

6.(内蒙古包头3分)化简 =，其结果是 ▲ .

【答案】 。

【考点】分式的混合运算。

【分析】运用平方差公式、完全平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合并同类项得出最简值。

原式= 。

7.(内蒙古呼和浩特3分)若 ，则 的值为 ▲ .

【答案】 。

【考点】分式的化简求值。

【分析】将 变换成 代入 逐步降低 的次数出现公因式，分子分母同时除以公因式：

。

8.(内蒙古呼伦贝尔3分)分解因式： = ▲ 。

【答案】 。

【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】 。

三、解答题

1.(北京5分)已知 ，求代数式 的值.

【答案】解： 。

∵ ， ， 原式= 。

【考点】整式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式。

【分析】先对要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出 ，即可求出最后结果。

2.(山西省8分)先化简。再求值： ，其中 。

【答案】解：原式= 。

当 时，原式= 【考点】分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式。

【分析】将分式的分子、分母因式分解，约分，通分化简，再代值计算。

3.(内蒙古呼和浩特5分)化简： .

【答案】解：原式= = = 。

【考点】分式的混合运算。

【分析】先对各项化简，然后进行混合运算，最后再化简，化为最简分式。

4.(内蒙古乌兰察布8分)先化简再求值 其中 【答案】解：原式= = 。

当 时，原式= 【考点】分式运算法则，二次根式化简。

【分析】将除法转换成乘法，约分化简。然后代 的值进行二次根式化简。

5.(内蒙古呼伦贝尔6分)先化简，再求值: ， 其中

【答案】解：原式= = 。

当 时，原式= 。

【考点】分式运算法则，平方差公式。

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。然后代x的值即可。

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙

时光荏苒，岁月如梭，转顺间走上工作岗位已经X年有余了!想来其中有成功的喜悦也有失败的挣扎与彷徨!过去的并不是过眼云烟，而是经验和收获，它使我的人生航标又走到了一个新的起点上，就这样，我在展望未来的同时不断的回顾和总结着前进，因为回顾总结为前进的脚步清扫障碍，保驾护航!那么就先来回顾一下这一学年的点滴吧!

一、思想方面：

作为一名年轻的党员教师，时刻提醒自己争做优秀教师，突出党员先进性。

在工作与学习中，我以积极求进的态度认真参加各项学习，深入学习政治理论知识，认真仔细的做好学习笔记。关心国家大事，拥护党中央的领导，坚持四项基本原则，拥护党的各项方针政策，遵章守纪，团结同事，热心帮助他人;教育目的明确，态度端正，钻研业务，勤奋刻苦;关心学生，爱护学生，为人师表，有奉献精神。热爱自己的事业。积极的投身到工作之中去。积极的参加了学校组织的校本培训使自己在教育科研、教育理论上都有所成长和进步。

二、教育教学方面：

在这个学期中，我任教二、三年级美术，在教学方面我总结以前教学中总结的经验，运用学校先进的教学设备，利用好地方丰富有利的教学资源，以激趣和引导为主，让学生在浓厚的趣味中自己开拓思维，遇到困惑能在大家的帮助下和老师的引导下共同寻求与突破!这样的课堂不再是乏味的教学，不在是老师教学生学，而是老师融入学生中去，和大家一起来学习和探究!这样的.教学方法，不但激发学生学习美术的兴趣，而且使学生形成基本的美术素养。我特别注重面向全体学生，以学生发展为本，培养他们的人文精神和审美能力，为促进学生健全人格的形成，促进他们全面发展奠定良好的基础。因此，我选择了基础的、有利于学生发展的美术知识和技能，结合过程和方法，组成课程的基本内容。同时，要课程内容的层次性，适应不同素质的学生，使他们在美术学习过程中，逐步体会美术学习的特征，形成基本的美术素养和学习能力，为终身学习奠定基础。

三、自身素质培养方面：

教学之余，我除认真参加学校及教研组组织的各种政治业务学习外，还订阅了教育教学刊物，从理论上提高自己，完善自己，并虚心向其他教师学习，取人之长，补己之短。从而使自己更好地进行教育教学工作上能更快地适应二十一世纪的现代化教学模式。本年度还报名参加了市组织的美术教学轮训班，在学习中，我学习到了更成熟有效的教学方式方法，和名师专家面对面请教，组队组研讨，通过自己努力的学习和研讨，在教学实践中深得专家和老师的好评!本学期在教育教学中也取得了一定的成绩，如：在教研课评比中荣获一等奖等。

四、德育工作方面：

一直以来，我能时刻牢记“爱岗敬业”和“为人师表”的职业道德之宗旨，在实际工作中不辞劳苦、主动开展班级管理和德育建设。与其他班主任一样，经常性加强对学生的早读、课间操、卫生清洁、安全防护等督促检查并考核登记，阶段性地或持续某段时间坚持每天对早读、清洁卫生情况进行突击检查，经常性、随意性地观察其他课任教师上课时学生的学习和纪律状况，力求更多的感性掌握第一手材料，以便有的放矢地加强动态管理。

那美丽映照出了我们园丁的辛勤和劳苦，更映射出我们教师的朴实和伟大。有了这样的心境，有了这样的目标，在今后的学习和工作中，我会加倍努力，为孩子们能轻松愉快的学习好，而寻找和创设更好学习方法和环境空间!

⬙ 代数和方程思想总结 ⬙