儿童数学超前培训总结

儿童数学超前培训总结（精华十七篇）。

◉ 儿童数学超前培训总结

有幸参加了“自贡市小学数学骨干教师培训班”3年的学习，在这里我感受了名师的风采，聆听了精彩的讲座，也更新了教学观念。这次教师培训已经接近尾声，回顾这次培训，感受颇深：教师的专业成长离不开专家的引领，他们给我们从很多方面进行了指导，使我们接触到了专家学者们的教育新理念，学习了不少教育、教学方面的知识，也观摩了许多一线教师的精彩课堂，认识到了自己教学中的不足。这次培训内容很深刻，培训的效果将影响深远。

我始终牢记开学典礼上市教育局高教司科长对我们讲了三点希望：端正态度，重视学习；尊师守纪，谦虚学习；学用结合，创新结合。每一次的聆听讲座和课后交流，我们都能踊跃发言，大胆地陈述自己的观点想法，提出自己感到疑惑的难以解决的问题。我坚持和骨干班的其他学员保持密切联系，使自己能博采众长、开阔视野。下面是我通过培训学习以及自己在工作中获得的点滴体会：

一、要做一名优秀的人民教师。

还清晰的记得富顺县城西小学的王军老师对优秀教师角色的形象分析，培训教材《教师的诗意生活与专业成长》、《骨干教师成长的秘诀》《点击苏霍姆林斯基》和《师德修养与教师专业成长》这几本书的内容至今印象深刻。优秀教师的成长应该需要教师有对教育的崇高理想，还要有先进的教育思想，对工作的激情、态度，良好的悟性，深刻的反思能力、读书的能力，学习生活中的韧劲。一名优秀的人民教师应该是思想好、专业强，懂生活。炼就优秀教师有三个境界：第一个境界是艰苦的准备期，第二个境界是坚韧的探索期，第三个境界是辉煌的成功期。教师需要从杂家到行家再到专家。我从教已近12年，我想自己已经进入了坚韧的探索期。这需要我耐得住寂寞，潜心教书，认真育人。

二、要加强数学专业知识的学习。

想给学生一滴水，教师就必须具备一桶水。教科所的唐玉霞老师对《小学数学课程标准》的分析，自流井区基教中心的甘奎老师对小学数学教材编排体系的分析，成都金牛区教育研究培训中心的苏晗老师对新课标背景下的数学教育、学生学习、教师教学的分析，对我都很受用，在此基础上我认真学习了培训教材《实施新课程精要读本小学数学》。如何把握新的课程标准，真正的对学生实行素质教育是我们必须要把握好的。

三、抓好课堂教学，提高教学效率。

省教科所的尤一老师叫我们《于纷乱中静下心来》，我们不由的开始重新审视学校里轰轰烈烈的新课程背景下的数学课堂教学，反思竭力追求的形式新颖，开始思考我们到底教什么？到底考什么？数学课堂教学可以千变万化，但也有恒定不变的东西，那就是知识严格发生发展延伸的规律。市教科所的王坚老师主讲的《有效课堂教学》，成都市青羊区教师学习与资源中心的刘庆华老师《课堂观察》，成都川师附小的黄老师与我们交流了《关注课堂理答，追寻课堂精彩》，，都从不同的视角对课堂教学进行思考。培训课本《教师课堂教学技能指导》更是对教师课堂教学提出了全面的要求。

成华区的教师肖凯老师主讲了《我们应该怎样读数学教材》，成都金牛区教研培训中心苏晗老师《模块教学法》特别是以学生学习成长值外显方式进行评价学生，化学生被动评价为主动学习，对我触动很大。成都锦江区教师进修校的锐老师主讲的《运算教学的核心价值及其策略》正解决了我多年数学运算教学的困惑。

四、加强教育科研能力。

大安数学教研员徐朝全以“问题解决”为中心的团队主题研讨例谈，从认识周长的教学→教学分析→设计环节和解决→教学反思。这是一种非常好的教研方法，培训教材《教师怎样进行反思与写案例和论文》、《有效的观课议课》、《教师如何设计作业与命题》对我们一线教师是非常实用的。

五、加强对其他知识的学习。

四川理工学院的石军老师给我们讲解了《校园礼仪》。自贡阳光心理咨询室的欧大可老师主讲的《小学生心理问题的疏导策略》中，我进一步知道了态度教育的重要性，要尊重学生的个性，挖掘学生潜力，关注学生的心灵，在身后为学生加油。图画中的心理学也是我比较感兴趣的知识：房树人、自画像、家庭结构图，自贡阳光心理咨询室的欧大可老师以《疏导教师的心理压力，构建和谐育人环境》为题，关注教师工作的心理状态，告诉我们要悦纳职业；悦纳学生，我们的教鞭下有瓦特，冷眼中有牛顿，讥笑中有爱迪生；悦纳自己，自己要有良好的个性、处事行为和人际关系；悦纳同事，与领导是乐队与指挥的关系，与同事是树木与森林的关系。培训教材《教师心理健康读本》也成了我比对自己的标准。这次培训，给我留下印象最深，至今回忆起来仍历历在目，深感自身的责任重大，自身压力也变大了，要想不被淘汰出局，要想最终成为一名合格的骨干教师，就要更努力地提高自身的业务素质、理论水平、教育科研能力、课堂教学能力等。而这就需要我付出更多的时间和精力，努力学习各种教育理论，并勇于到课堂上去实践，及时对自己的教育教学进行反思、调控，我相信通过自己的不断努力会有所收获，有所感悟的。最后再次感谢领导和班主任老师们给我提供了这么好的学习环境！

◉ 儿童数学超前培训总结

关于超前教育的弊端

每个家长都希望宝宝未来可以在这个竞争激烈的社会环境下占有更多的优势。所以很多家长在宝宝很小的时候就给宝宝灌输英语、哲学等其他各种知识。但是过早的给宝宝灌输知识，可能会让宝宝精神压力过大导致宝宝身心发育受到重创。

宝宝在三岁之前，教宝宝学习外语，诗歌等知识，都属于过早教育。这种过早教育曾经在韩国非常的流行，他们也尝到了过早教育给他们带来的苦果，近年的观察显示，韩国婴幼儿的精神病患者占到总体精神病患者的百分之三十以上。主要症状表现为情绪不安、注意力不集中、认知发达不均衡。就算让宝宝勉强记住了一些诗歌，外文等知识，也不能让宝宝赢在起跑线上，为什么呢?因为当宝宝到了真正学习的年龄-五周岁之后。宝宝反而会失去了认字的`能力，而且其行为能力可能还停留在婴儿时期，会像婴儿般的叫喊和像婴儿一样满地乱爬。这就好像我们小学时学过的拔苗助长一样，违背自然规律的行为最终会得不偿失。

专家指出，不要让宝宝三岁以前去记忆太多的知识，这个时期宝宝的记忆都是非常短暂的，今天记住明天又会忘。在五岁以前别让宝宝认识过多的字，过于枯燥的教学会损害宝宝学习的热情。在宝宝九岁之前不要学外语。两种语言对于宝宝来讲过于复杂，会让宝宝逻辑混乱。那么是不是就一切随缘，不对宝宝多加教育呢?其实想让宝宝更好的成长，学到更多的知识，懂得更多的道理是有方法的。这种方法就是给宝宝更大的探索空间，给宝宝更多的游戏时间。让宝宝在探索中产生学习的兴趣，在游戏中学会更多的知识。至于其他知识，在宝宝有学习的兴趣之后，不用家长逼也会自己主动去学，还学得更好。家长不可不察。

◉ 儿童数学超前培训总结

345优质高效课堂，“345”的含义是指三个步骤、四个环节、五种基本课型，三个步骤是课前延伸—课内探究—课后提升，四个环节是自主学习、合作探究、精讲点拨、巩固检测，五种课型，各学科有所不同。这次上寿光暑期培训，听取了来自不同县市区的名师所执教的五节精彩的小学数学课，就是数学科目的五种典型课型。

小学数学内容大致有这些：数的认识、数的运算、量与计算、比和比例、式与方程、几何图形、统计与可能性等，根据内容的不同可以选用不同的课型。

第一节课是来自寿光世纪学校王琳琳老师执教的.二年级数学内容《乘法的认识》，数学内容中的所有概念、定律、性质、法则、公式等都属于数学概念，这节课属于概念教学。先看《乘法的认识》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点首先是创设情景、提出问题，让学生列式解答，观察算式特点，那复杂算式呢，思考解决办法，其次是概括总结出乘法的概念后，及时进行应用辨析，这也是我们老师在讲概念课时值得借鉴的地方。概念教学的流程按教学侧重点不同大致分为四个阶段：第一个阶段（变魔术、提问题）创设情境，提出问题，促思定向——第二阶段（列算式、找特点）自主探索，合作交流，感知概念——第三阶段（求简单、学乘法）精讲点拨，内化提升，形成概念——第四阶段（巧练习、促巩固）练习巩固，反思评价，矫正补缺。

第二节课是来自高密市第二实验小学侯淑娴老师执教的一节三年级数学课《统计与可能性》，这节课《统计与可能性》是青岛版《义务教育课程标准实验教科书·数学（三年级上册）》第82-83页所学的内容。先看《统计与可能性》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点是以小组的形式自主学习、合作探究，而且老师及时评价，练习题多容量大。此课型的教学过程有四个环节：一游戏引入，激发兴趣；二精心设问，引出新知；三操作验证，探究新知；四梯度练习。巩固新知。统计与可能性这部分内容在授课时关键是练习题的设计上要灵活多变而且切合实际生活。例如：要设计一个转盘，红绿两种颜色，指针指向红色奖书包，指针转到绿色奖铅笔。如果你是一个商店老板会怎样设计这个转盘，如果你是一个聪明的顾客又会怎样设计这个转盘呢？

第三节课是来自奎文区潍坊日向友好学校王冬梅老师执教的一节六年级数学课《平面图形的复习》，我们期末考试大多用的是奎文区的试卷，题目非常新颖灵活，听了这节课我深深感觉到我们与他们的教科研上有很大差距。先看《平面图形的复习》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点是：

一是王老师通过让学生解决——“中队旗用多少布料。”这一问题，与开课所提及的问题前后呼应，又有利于拓展学生多角度思考和联系实际解决问题的能力，同时注重了解决问题方法的多样性，培养了学生的数学应用意识。

二是最后通过——“想象大冲浪”这一轻松而富有智慧的练习既巩固了面积计算公式同时又培养了学生合理想象的能力，可谓一举两得。

三是王老师在课的最后以“精神快餐”和“学习诀窍”的形式对课进行总结，富有哲理，耐人寻味，发人深思，给人启迪，从而潜移默化地使学生的思维得到升华，为学生后续学习起到了很好的启发和引领作用。

通过这节课我们一块研讨一下复习课。复习课的主要任务是：帮助学生梳理知识，形成网络，使知识系统化、结构化，以加深对知识的理解及知识之间内在联系的把握，并在梳理的同时查漏补缺，弥补平时学习的薄弱环节。通过综合应用，帮助学生进一步巩固和熟练掌握基本知识，基本技能以及基本的数学思想和方法，帮助学生揭示解题规律，总结解题方法，进一步提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。并在对数学知识的综合应用中，进一步提高观察能力，记忆能力，抽象概括能力，逻辑推理能力，化归转化能力，空间想象能力、数学化的能力、运算能力和探索创新能力。本节复习课教学的基本流程是：创设情境，激趣导入、激发学习动机——自主探究，构建网络，呈现原有认知——合作交流，方法指引，构建升华认知——综合运用，解决实际问题，思维拓展。

◉ 儿童数学超前培训总结

一、主要成绩

在学校领导的正确领导下，本人按照学年初制定的辅导计划加以实施，并不断加以充实和完善，积极进行辅导改革，悉心研讨和实践，旨在如何最大限度的调动学生的主动性，充分发挥学生的主体作用。经过师生的共同努力，最终获得了国家级数学三等奖，

二、具体做法

数学竞赛是青少年科学素质教育的一种不可忽视的方式，是发现人才、选拔人才、培养人才的一种有效途径，成为现代数学课外教育的一个重要组成部分。

（一）选苗

1、摸底筛选：首先，了解学生中的奥数选手和思维敏捷、解题速度快的学生，其次，在期初进行一次摸底考试，把成绩优异者和了解到的两类学生结合考虑，从中选出50人组成课外兴趣小组。

2、期中观察筛选：由于初二到初三是一个飞跃阶段，学生变化较大，初二基础好，到初三也有右能不适应，初二不怎么好，升入初三后，随着环境、年龄的改变，可能会脱颖而出，初三第一学期教师要细心观察、分析、特色合适的人选。从第二学期开始，对兴趣小组进行调整。人选的基本要求：（1）踏实认真肯吃苦；（2）勇于拼搏有竞争意识；（3）思维敏捷、解题速度快，（4）学习成绩中等偏上。

（二）、择材

1、所选辅导教材要求浅显易懂，技巧性强，方法别具一格，也有一定的权威性，不断充实一些教材，杂志作参考，以取百家之长

2、竞赛辅导例题、习题的选择应注意针对性、阶梯性、典型性、多解性、灵活性。

1）针对性：一是针对学生实际，在学生可接受的基础上加深加宽，不能盲目拔高。

2）阶梯性：从易到难，由基础知识训练到技能技巧的培养，层层递进。

3）典型性：具有代表性，能代表一类题型，有举一反三的作用，吃透几个题，就能驾驭一大批题。

4）多解性：这里的“解”，包含两层意思，一是一题有多种解法，从不同的角度利用不同的知识，获得相同的结果。

5）灵活性：题型灵活多变，技巧性强，往往用常规的方法不能解或解法很繁，而用某种特殊方法解却易如反掌。

（三）、辅导

1、时间：一般每星期进行两次集体辅导。分散时间，分散教材，做到步步扎稳，层层落实。定时布置、检查，批改数学竞赛练习。

2、方法：（1）制定辅导计划，多询问，多督促，多鼓励，多指导。指导他们看一些竞赛书籍与杂志，积极参加各家杂志举办的数学竞赛；给他们指导解题方法与技巧。对这部分学生，鼓励他们自学，提前完成课堂任务，抽出一定的时间，让他们越级听课，越级参赛。

（2）变式。设置变式训练，使学生举一反三，一题多变，多题一解，活跃课堂气氛，提高分类、比较、归纳能力，会收到事半功倍之效果。

（3）专题。根据教材特点和学生的实际情况，定期设置重点课题进行专题教学。如“应用题”、“全等三角形”、“根与系数关系”等等，以期突出重点，攻破难点。

（4）、竞赛。定期进行课堂小组竞赛，一是检查学生培训情况。二是表彰成绩好的学生，以提高学生的学习兴趣和竞争意识。这也可以作为一种参赛学习。

（5）、参赛前进行心理素质、应试策略、典型的重要解题方法，数学思想、数学原理等辅导。使之有良好的心理准备，临场时高水平和超水平地发挥。

数学竞赛，作为一种智力、能力和美的竞赛，丰富了学生的课外活动内容，训练了学生的心理素质，激发了学生的上进心和创造性思维。

◉ 儿童数学超前培训总结

20xx年10月16日，由省教科所组织的小学数学名师优课展示活动在徐州举行，我有幸参加了这次观摩活动。看到参赛的每一位老师都以自己的特色诠释着数学课堂教学中生命的对话，真可谓“八仙过海，各显神通”。置身于会场中，倾听着名们一堂堂精心准备的课，在这里，我亲身领略着他们对教材的深刻解读，感受着他们对课堂的准确把握，体会着他们对学生的密切关注。他们在开启学生智慧大门的同时，也让我学到了很多很多新的教学方法和新的教学理念，引发了我对课堂最优化的思考。

一、课前交流是非常重要的。

良好的开始是成功的一半，上课前的交流可以是对学生的表现提出一些要求、可以与学生谈谈话相互介绍、可以是数学游戏、可以是有利于引入新课的故事。通过交流不仅可以缓解学生的紧张情绪，还可以引发学生的学习兴趣。在观摩这些老师的课中他们都非常注重这一点，给我印象最深的是郯城一年级的毛芳芳老师，她的课前交流是两个小数学游戏：一个是拍手游戏，纠正学生坐姿；另一个是碰碰车游戏，复习了前面学的8、9的减法。做完这两个游戏时学生的学习热情高涨，有种箭就要离弦的感觉，趁机进入新课学习效果不言而喻。这一点在我的课中做的不是很好，需要向这些老师们学习。

二、备课和设计的新颖给了我很大的震撼。

在听课中时常看到名师们独特的教学设计，课件制作让我心动!使我明白一切的手段都可以用来服务教学，老师都能根据小学生的特点为学习创设充满趣味的学习情景，以激发他们的学习兴趣。最大限度地利用小学生好奇、好动、好问等心理特点，并紧密结合数学学科的自身特点，渗透法制教育，创设使学生感到真实、新奇、有趣的学习情境，激起学生心理上的疑问以创造学生“心求通而未得”的心态，古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”老师提出疑问，设置悬念，启迪他们积极思考，激发学生的求知欲，激起他们探索、追求的浓厚兴趣。促使学生的认知情感由潜伏状态转入积极状态，由自发的好奇心变为强烈的求知欲，产生跃跃欲试的主体探索意识，实现课堂教学中师生心理的同步发展。设疑导思，让学生满怀热情地投入学习。老师是教学的引路人，不断地揭示知识的新矛盾，让学生用数学思想去思考问题，解决问题。最后得出认知的理念。

三、课中不要吝啬，要善于表扬。

表扬是一种力量，低头抬头间给予了别人动力的源泉。在课堂中我经常表扬学生，但是采用的语言比较单一。在观摩这些老师的课时这点也给了我很大的感触，他们都能及时以不同的方式、不同的语言给予学生表扬与鼓励，看到表扬学生后的表情及学习的热情，使我意识到表扬与鼓励的重要性。在以后的教学中应该像这些老师学习，多采用不同方式来表扬学生，激励学生的学习兴趣。

四、要以学定教，少讲多学。

学生能说的，教师不必说；学生不会说的，教师才说。观摩了这些优秀教师的课虽然每节课的亮点不同，但他们都没有忽视这一点。在课堂上每个教师充分发挥了自己的引导作用，给学生充足的时间去思考、去探索、去交流，给他们自由表达的机会。整节课学生都在忙碌的学习中，没有时间去走神。

总之，通过这次学习，令我的眼界大开，领略了许多优秀老师的教学风采，为我的课堂教学增加了大量的宝贵经验。也更加体会到学习的重要性。使我更加看到了自己课堂教学的不足之处，也更加了解了小学数学课堂教学怎样做到扎实有效。我将在今后的教学工作中，努力学习，再学习。以此来弥补自身的不足，取长补短，提高自己的教学水平。我更加珍惜每次的学习机会，不断地改进自己的教学方法，争取上好每一节课！

要求：

1、结合外出学习内容写所思、所获。

2、编辑要求：标题三号黑体，正文小四宋体，段落行间距为固定值22

3、完成后发回学校邮箱，标题：xxxxxx外出学习心得（xxxx为自己姓名）

4、截止日期为下周二（11月25日前），汇总通报。

5、此样板用后将要求删除。

◉ 儿童数学超前培训总结

回顾和展望

为期三个月的小学科学网络培训就要接近尾声了，这样一个活动，对于刚上讲台的我来说，是一个系统学习的机会。写着写着好像在写总结了，呵呵，回顾和展望嘛！

探究，这个词在小学科学课程中出现频率最多，重要性不言而喻，但是真正贯彻落实，确实是件不容易的事，相当的不容易。

《科学（3-6）年级课程标准》指出：科学学习要以探究为核心，探究既是科学学习的途径，又是科学学习的方式。亲身经历的探究为主的学习活动是学生科学学习的主要途径。在当前的科学课堂教学中，这一理念正逐渐被广大教师所接受和实践。所谓探究，就是从问题开始，引导学生像科学家那样从问题开始经历认识过程；科学课中的探究则让学生带着问题大胆假设；让学生自己设计实验方案，观察实验结果，讨论假设等。

一、引导进入探究。

对低年级同学，主要是在玩和兴趣中引导学生开始探究，我们要把科学教学与“玩”结合起来，教师要做的就是适时地引导。对中年级同学，教师要积极引导学生探究的方向，来激发学生的探究兴趣 。对高年级同学，要在老师的引导下，全过程得亲历科学探究。

二、激励评价，保持探究热情。

在学生的探究活动过程中教师要随时关注他们的活动情况并给以评价，发挥评价的作用。当然，评价目的不仅在于评价对知识理解是否正确，更在于评出自信，产生激励效应，使学生更积极主动地参与探究活动。

探究天天挂在嘴边，不如课课记在心里。

◉ 儿童数学超前培训总结

一、我们的亮点

（一）“主题式”园本实践月，实现常态化研修管理。

（二）“分层、分类”项目研修，挖掘特色化研修的路径。

本学期，根据省、市为进一步推进校本培训工作的新思路，新做法，我园也积极尝试开展“分层、分类”项目研修，依据教师的年龄结构来开展专业性与娱乐性的研修；依据教师的专业需求开展自助式与考核式的研修；依据教师的个性成长开展茶话式与批注式的研修。

1、专业性与娱乐性的研修满足了不同年龄层教师对培训的接受度。

学期初，我们对教师进行了项目研修申请的表格记录调查，发现不同年龄层的教师对培训内容与形式都有不同的接受程度，年龄偏大也就是经验型的教师更加注重休闲点，技能型的培训主题，在培训中可以学习一些生活小窍门，或者体验生活的乐趣。于是我们本学期就开展了插花、制作月饼、生活中的消防常识等培训活动；而年轻的骨干教师他们则更喜欢专业性强一些的培训，通过培训可以给自己的专业带来帮助、提升自身素养的`一些培训活动；于是我们就组织教师开展“游戏化教学”系列化研修活动，通过三部曲《走进儿童的游戏故事》、《如何进行定位区域观察》、《游戏故事分享》来开展研修，特别值得一提的是，凌素凡老师作为主编的《游戏故事》书籍在浙江人民出版社出版，我园的汪聘婷老师的案例也在书中刊出，可喜可贺。从接受度来选择研修活动，让教师体验到研修的快乐与自主，同时也感受到研修的人性化管理。

3、茶话式与批注式研修能够满足个性化发展，提升教师参与研修的积极性。

茶话式研修就是大家围坐在一起，围绕某一话题进行十分钟左右的阐述交流。我园下午的园本教研活动中，我会利用大家10分钟的时间，每周一个话题，与大家逐一闲聊，在聊中发现问题、在聊中发现闪光点，在聊中产生共鸣，这也就是我将在下个学期提升为“项目故事”研修团队的内容。短短的一个学期开展下来，收取了很多典型的例子，也延长了很多有趣的故事，逐步实现了教师们的“不愿说到愿意说，从要我说到我要说”转变。所谓批注式研修主要是针对个体而言。每一次，我都会通过观察、约谈的方式，来了解教师缺什么，要求补什么；做好个性化的批注，并适时进行引导，利于他们发展。如周怡这位年轻老师有着较好的文采，喜欢问问题，也善于梳理。于是，我就带着她进行主题教材的编写；张瑶瑶老师想通过课题来获得专业的提升，于是，我就引导她通过课题申报；池瑞祥作为我园区唯一一位男教师，他喜欢上体育课，但是梳理能力不是很好，于是我就每周都会到他班级听课、评课，通过课堂教学来提升他的专业能力。茶话式与批注式研修是我们提出的一种新的、个性化的研修活动，还处在尝试阶段，将在下个学期进行完善。

二、我们的收获

通过一个学期有目的、有计划的实施园本研修，我园教师在课堂执教方面、课题研究方面、解读幼儿方面等都有了很大的进步。在全市论文评比中，我园选送的7篇论文全都获奖；在市立项课题成果评比中，我园选送的4个课题都获奖，其中二等奖2个，三等奖2个；在市级优质课评比中，我园选送的教师获得一等奖的好成绩。同时，我们两位老师分别获得市优秀教师、市园丁奖称号。这些都是园本研修扎实有效开展带来的成果，下个学期将会再接再厉，争取更大的成绩！

三、我们的思考

虽然在这个学期里，我们的全体教师都圆满修完了12学时，也参加了不同形式的项目研修，取得了较好的成效。但，我也认识到一些不足，将在下个学期努力完善：

1、尝试申报园本研修课程研究，并进行实施与资料收集、梳理。

2、将主题式的园本实践月开展更加接地气，更有特色。

3、更加及时更新教科室博客资料，呈现新、全的面貌。

◉ 儿童数学超前培训总结

一、背景介绍

儿童的健康是家长们最关心的问题之一，其中儿童发热更是引起家长们高度关注的常见问题。为了加强家长对儿童发热的认知和应对能力，本次举办了一场儿童发热培训，旨在提供详细、具体且生动的知识，使家长们能够正确处理儿童发热的情况。

二、培训内容

1. 什么是发热

培训开始时，我们首先介绍了什么是发热。发热是指体温超过正常范围，正常体温在摄氏36.5到37.5度之间。我们通过图表的形式向家长们展示了不同年龄段儿童的正常体温范围，并且详细解释了外界环境、感染、免疫系统功能等因素对体温的影响。

2. 儿童发热的症状与原因

接下来，我们详细介绍了儿童发热的常见症状和可能的原因。我们向家长们展示了不同病因引起的发热示意图，并针对每一种病因进行了详细的解释。例如，感染性疾病是儿童发热最常见的原因之一，我们强调了细菌感染和病毒感染的区别，并介绍了一些常见的传染病，如感冒、咽炎等。

3. 如何正确测量儿童体温

在处理儿童发热时，正确测量体温非常重要。我们详细介绍了准确测量儿童体温的方法，包括口温、耳温、额温和腋温等。同时，我们还向家长们强调了在不同年龄段儿童中选择合适的测温方法的重要性，以及如何在实际操作中避免测温误差。

4. 处理儿童发热的步骤

在培训的最后，我们向家长们介绍了正确处理儿童发热的步骤。这包括观察、控制体温、提供适当的液体和饮食、适当活动和休息等。我们强调了对体温的及时观察，并给出了一些处理方法，如使用药物降温和物理降温的区别，提醒家长们遵循医生的咨询和建议。

三、培训成效

1. 知识储备

通过本次培训，家长们对儿童发热的原因、症状以及正确处理方法有了更全面的了解。他们对测量体温的方法也更加熟悉，能够在实际操作中更准确地判断孩子的体温是否超过正常范围。

2. 应对能力

本次培训给家长们提供了丰富的知识储备，使他们能够更好地处理儿童发热的情况。他们学会了采取可行的措施来控制孩子的体温，并在需要时及时寻求医疗帮助。这将有助于减轻病情并提高治疗效果。

3. 互动交流

在培训中，家长们积极参与讨论，提出问题并与其他家长交流经验。通过互动交流，他们不仅从专业讲师那里获得了专业的解答，还从其他家长的经验中获得了实用的建议。这种互动交流增强了家长们之间的合作和互助，使培训效果更加显著。

四、结语

通过本次儿童发热培训，家长们对儿童发热问题的认识和应对能力得到了提高。他们掌握了测温方法、症状判断和处理步骤等知识，提高了对儿童发热的预防和处理能力。这将有助于家长们更好地照顾孩子的健康，确保孩子在生病时能得到及时且正确的处理。希望今后能够举办更多此类培训，提高家长们的健康意识和应对能力。

◉ 儿童数学超前培训总结

数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。

第一次扩充：分数的引进；第二次扩充：0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。

从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。

有理数有一种简单的几何解释在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。

无理数的引入正方形的边长和对角线不可公度。实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要，实现了实数系关于加减运算的封闭性。戴德金阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。

所建立的数系是同构的。

自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论

基数理论当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。19世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共同特征称为基数。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。自然数就有有限集合A的基数叫做自然数。记作“”。当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为N。

序数理论皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。是根据一个集合里某些元素之间有“后继”这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、……这样一种基本关系而完全确定下来。

定义非空集合N中的元素叫做自然数,如果N的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：

（1）0∈N；

（2）0不是N中任何元素的后继元素；

（3）对N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

（4）对N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N中某一元素b；

（5）（归纳公理）如果MN，而且满足条件:①0∈M；②若a∈M，则a′∈M.那么，M=N这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。

自然数0是作为空集的标记。在空集中，“0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。

自然数系所蕴含的思想

对应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。（导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现）德国策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国弗芝克尔改进形成了一个无矛盾的集合论公理系统（ZF公理系统）。数位思想

位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

负数的数学含义至少包括如下几个方面：+a与-a表示一对相反意义的量。引入负

数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。

字母代表数代数，原意就是指“文字代表数”的学问。使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解。根本的内涵是“未知数的符号x可以和数一样进行四则运算。文字代表数的真正价值在于：字母能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、积分运算等等。

解析式数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合。解析式中的字母可以有不同的含义不同的含义不影响它基本运算规律和变形规则。解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式，没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。

解析式的恒等变形把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。恒等是相对的。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是，解方程时的同解变形，不是恒等变形，。代数式数学的符号语言

代数式是在数系基础上发展起来的。在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类：1代数运算2初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。

定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算，那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。还可以进一步分类：只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；在有理式中，只含有加、减、乘运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。

“数”发展到“式”的意义导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，成为近代数学的显著特征。

数学符号具有重要的属性一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。等式和方程

（一）方程的含义“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。

判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数。方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。

方程的分类依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。方程按照它所含有的未知数的个数来分类：集。两个不等式的解集相同，则称这两个不等式是同解的。

不等式有三个基本性质：1不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。不等式的实际应用在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么.方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。不等式尤其在解决“最值”问题上具有广泛的应用。不等式蕴含的思想

（一）模型思想与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。

方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。关于方程建模大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。必须学会抽象将关系抽象为数学符号。

方程设计思想的思路先进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题。

初中数学方程的常见解法：换元法、因式分解法、图像法、求根公式法。

等式与方程的关系建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。不等式

学习的意义不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律。其次，研究不等式可以导致等式。最后，不等式在几何上可以表示一个区域。

不等关系与相等关系既是矛盾独立的，也是相互统一的。不等关系往往可以等价地转化为相等关系加以解决。

不等式的含义两个实数或代数式用符号连接起来的所得到的式子叫做不等式。如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式，如果只用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式。如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式。当不等号两边的解析式都是代数式时，称为代数不等式；两边的解析式至少有一个是超越式时，称为超越不等式。不等式解集表示方法

不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的过程叫解不等式。不等式组中每一个不等式解集的交集叫做不等式组的解集。

一个不等式的解集表示方法1数轴表示法即在数轴上把不等式的解集表示出来。2集合表示法即用集合来表示不等式的解集。3区间表示法即用区间来表示不等式的解

刻画不等现象的有力模型。通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。（二）辩证思想通过c=a-b的媒介作用，不等式a>b与等式a=b+c建立了一种“等价”关系。这是一种辩证关系。恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题。（三）数形结合思想根据题意可列出不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，可以直观形象地解决问题。这种思想正是数形结合思想。函数

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

1755年，欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数。”由此演变为目前的函数的“变量说”黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的每一个值与之对应，则称W是Z的函数。”。1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：

1）对

中每一个元素

，存在

，使

；

（2）若且，则。函数记作：”分别称以上函数定义为变量说、对应说和关系说。函数概念的核心思想

数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法。

解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的。列表法适用于表达变量取值是离散的情况。利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法表达函数可因题而议。中学数学研究的函数性质

数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。中学阶段主要研究函数的周期性，也涉及

奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。（一）函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律。是中学阶段学习函数的一个基本的性质。周期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况。

（二）函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。奇偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。

（三）函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。函数与其它内容的联系

（一）函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐．解析几何的产生与发展

笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。现代几何的产生与发展

人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处，在尝试用其他公理、公设证明第五公设“的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。初中数学课程中的几何学内容

（一）直观几何几何学是其中研究“形”的分支。几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。“形象思维”也就是强调几何直观。

（二）演绎几何几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，因此，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，标，即零点的横坐标。方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题。

（二）函数与数列数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列通常称为离散函数。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。

（三）函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。

（四）函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，接着，需要确定目标函数的可行域。最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题。

解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。函数模型

函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义。现实生活中，普遍存在着最优化问题----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决。在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。

在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性。

通过实例，让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会用数学的知识、思想方法、数学模型解决实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践．第二章图形与几何四个基本阶段。

实验几何的形成和发展

人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。理论几何的形成和发展

柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，欧几里德按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》奠定了理论几何的基础。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。

以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何。

（三）度量几何对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，适当的延伸。（四）变换几何也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。（五）坐标几何即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。

经验几何所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。经验几何的作用

几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。

（一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。（二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。

学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。

另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。

（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法。总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、几何直观几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。

几何直观及其作用《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述

和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观对于学生的数学发展非常重要：

首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。

其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础,有助于学生对数学的理解。

借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考一般地，周长指封闭曲线一周的长度。（二）面积

物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。人们约定，将边长为1米的正方形的面积规定为1平方米。

于是，对于边长为整数a米、b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为1米的正方形，进而，这个矩形就由ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为ab平方米（整数）。如果矩形的边长A，B是无理数，而且仍用边长为1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数，an→A,bn→B。依据anbn→AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是AB。

这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的的机会，揭示经验的`策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

直观几何主要包含哪些内容

以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。经验几何的具体研究内容

初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。度量几何几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。

长度的含义线段“两端之间的距离”。所谓距离。罗兰德（Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。1960年以后，用激光定义“米”。

目前，国际上采用的长度单位，是在1983年10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（SI）中的长度单位──“米（meter）”定义为：光于299,792,458分之1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。

如果可以用一个线段e衡量两条线段M，N，使得M，N都是e的整数倍，我们称两个线段M，N是可公度的。

辗转相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。古希腊的毕达哥拉斯学派，发现正方形的边与其对角线不可公度3.周长“圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。”

比”。

海伦-秦九韶公式

刘徽用割圆法求圆面积大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。印度圆取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径r，底为圆周长c，面积为rc，从而得圆面积为.体积是指物质或物体所占空间的大小。

（1）直接度量法。把一种叫做“单位正方体”的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被a个正方体填满，那么这个几何体的体积就等于几个单位体积。（2）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。“面积公理”与测度公理

既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。对于周长一定的矩形来说，边长相等时矩形面积最大，即正方形的面积最大。（2）对于面积一定的矩形来说，边长相等时矩形周长最小，即正方形的周长最小。事实上，这个结论可以推广为：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大，如，第四节变换几何

变换就是一个集合到另一个集合的映射。几何变换、变换群的概念

几何变换，就是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。

变换群。实际上是满足一定条件的若干变换组成的集合：如果某种几何变换的全体组成一个群，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容。

在初等几何中，变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。

全等变换

如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A/，B/总有A/B/=AB。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换）,它把一个图形变成与它反常全等的图形,即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向。相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似(正相似)的图形,即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向,每对对应角有同一方向。反演变换

在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对于任一个异于O点的点P，将其变从认知规律看，几何学习的基本途径,主要是四步：直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算。

欧几里得与演绎几何

公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。

希腊数学家欧几里得编成了《几何原本》一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。欧几里得《原本》，原说有15卷，经后人多方面考证，公认只有13卷。欧几里得《原本》对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失

《原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。在训练人的逻辑推理思维方面，换成该射线OP上一点P/，且使OP/OP=R，这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆，圆心O叫做反演中心或反演极，R叫做反演半径或反演幂，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点,位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之，也成立。演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。合同变换：平移，旋转，反射平移、旋转与反射的初步描述

图形相似的思想方法体现在图形相似的概念、性质和处理问题的手段之中。我们可以将其归结为如下五个方面：

（1）图形相似问题的核心往往在于三角形相似与成比例线段，体现出化归思想

（2）图形相似是反映大自然奥秘的一个窗口，图形相似在自然、社会和人类生活中具有广泛的普适性。

（3）结构相同，即“同构”，是图形相似的重要特征之一。相似可以帮助我们从局部来研究整体。

（4）图形相似提供了认识三角形的另一个途径，三角形相似的判别方法可以强化我们对三角形构成元素的认识。

（5）借助必要的工具和手段是学好图形相似的必要前提。平面图形初等变换之间的关系

（一）平移、旋转、反射变换是全等变换

（二）平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到。

对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。

（1）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移；

（2）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。

（3）任意一个合同变换至多可表示为三个反射的乘积。第五节演绎几何《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范。

欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德罗素、阿尔弗雷德怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。

如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。

从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。《原本》几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼，甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比三种几何的关系

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此，这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

义务教育阶段几何课程内容的基本定位义务教育阶段几何课程设计的特点简析义务教育阶段几何课程设计的特点与以往的综合几何课程设计风格相比，《数学课程标准》下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。

尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。

从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。

对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现。

非欧几何，即非欧几里得几何，是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。罗巴切夫斯基几何

家罗巴切夫斯基发现非欧几何--罗氏几何为止，肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。

新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验学习的方法；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。

直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的差异

与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色：

1．不同的课程目标和价值取向

从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。

2．不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系

以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新关系。

3．不同的课程设计风格

在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型课程和经验型课程外，大多数课程介于两者之间。直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。

4．不同的教学要求

在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情尽管全国初中数学课程标准实验教科书彼此之间都有差异，但是，发展几何直观与推理

能力是普遍趋势。第三章统计与概率

准确理解数学、概率、统计之间的关系

（一）研究问题的出发点不同数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究。统计研究所依赖的是模型，构建一些模型的基础上进行研究。但是，统计与数学有着密切的联系，我们拿来数学的很多知识、思想方法作为统计分析的工具。

（二）研究问题的立论基础不同从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。而统计学是建立在数据和模型的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的。

境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。如何理解初中几何及推理

新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。

初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。

在义务教育数学课程标准下，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。

在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。

如何理解初中几何的核心目标发展几何直观与推理能力

在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。基于此，《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律，以图形的认识、图形与变换、图形与位置（坐标）、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。

（三）研究问题的方法不同与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法，而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，是一个从特殊到一般的方法。

（四）研究问题的判断原则不同数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术。

数理统计方法的基本步骤建立数学模型，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。

（1）模型的选择和建立。模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本。

（2）数据的收集。其方法主要包括全面观测、抽样观测和安排特定的实验3种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。

（3）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。

（4）数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。

（5）统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，做出有关总体分布的某种论断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。

（6）统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。

（7）统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果而制定的一种行动方案。初中统计与概率的课程内容主要内容包括：

描述统计的进一步扩展----描述统计的基本目标在于以最简单而直观的形式最大限度地容纳有用的数据。

渗透数理统计思想----数理统计与描述统计的根本区别在于总体与样本概念的引入，它的基本思想是通过对样本的分析来推断总体的特性。这部分的一个核心的内容是抽样，如何抽样、抽样的过程、样本的多少是收集数据的一个关键问题。学习概率的初步内容-----包括运用列表、画树状图、制作面积模型、简单计算等方法得到一些事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过大量丰富的实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际的问题。

普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.总体：所考察对象的全体称为总体。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查。样本：从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数量叫样本容量。随机事件和样本空间

在一定条件实现后，可能产生也可能不产生的现象，人们称之为随机现象。具备以下三个特点的试验称为随机试验：

信息。众数只与其在数据中重复的次数有关，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。数据的离散程度

极差是指一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它可以反映一组数据的变化范围。方差是指一组数据中的平均数与每一个数据之差的平方和的平均数。

样本数据的方差和标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。加权平均数的概念

加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，即一组数据的每个数乘以它的权重后所得积的总和。平均数称之为算术平均数，是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，

(1)可在相同条件下重复进行；

〔2)每次试验可出现不同的结果，最终出现哪种结果，试验之前不能确定；

(3)事先知道试验可能出现的全部结果。随机事件随机试验的每一个可能的结果称为一个随机事件

样本空间由样本空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件。数据的收集

数据收集方法有两种：调查和实验。在现实生活中原来就有的数据，人们通过调查获得，例如，普查，即为一特定目的而对所有考察对象的全面调查；抽样调查，即为一特定目的而对部分考察对象作调查。三种常用抽样方法是：随机抽样法、分层抽样法和系统抽样法。

数据的随机性主要有两层涵义：

一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；

另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据的整理和分析

数据分析观念主要体现在三个方面：

第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；

第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；

第三，通过数据分析体验随机性。

理解两种估计方法，一种是用样本的频率分布来估计总体的分布，另一种是用样本的集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）来估计总体的集中程度和离散程度。频数和频率

我们称每个对象出现的次数为频数，也称次数。频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。数据的集中趋势在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。反映数据集中趋势的度量包括平均数、中位数、众数等。平均数一组数据的平均数就是用这组数据的总和除以这组数据的总个数得到的值。中位数，就是将这组数据从小到达排列后，位于正中间的数（或中间两个数的平均数）。众数，是指一组数据的众数就是这组数据中出现频数最多的数。平均数、中位数和众数的联系与区别

联系：从不同角度描述了一组数据的集中趋势。区别：计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息，但容易受极端值的影响。它应用最为广泛。中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关。但不能充分利用所有的数据当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。

统计表不仅反映某一类事物的具体数据，而且还能说明有关数据之间的关系。统计图是借助于几何线、形(线段、长方形、三角形、圆形等)以及事物的形象等形式，显示收集到的数据信息，直观地反映其规模、水平、构成、相互关系、发展变化趋势和分布状况，即是根据统计数据所绘制的图形。条形图是以简单的几何图形，即等宽条形的长短或高低来比较数据所隐含信息的统计图示法分为单式条形图、复式条形图、分段条形图、对称条形图、距限条形图、累积条形图等。

直方图有两种，频数直方图和频率直方图。频数直方图与频率直方图既有联系，又有区别。

扇形图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。扇形图能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。

扇形统计图具有四个特点：

一是利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，

二是圆代表总体，各个扇形分别表示总体中不同的部分；

三是扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，

四是各个扇形所占的百分比之和为1；最后，在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小。折线统计图

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，折线统计图不但可以表示出数量的多少，还能够清楚地表示出数量的增减变化情况，并且可以进行简单的预测。折线统计图可分为单式折线图或复式折线图。统计是对随机现象统计规律归纳的研究，而概率是对随机现象统计规律演绎的研究，在解决实际问题时，二者是相辅相成、互相关联的

随机事件的概率，实质上是指在客观世界中，这个事件发生可能性大小的一个数量刻画。

概率的定义

频率是指事件发生的次数在全部试验次数中占的比例，所以频率能够反映该事件发生的可能性大小。即一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是趋近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).概率的公理化定义样本点全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正确理解随机性与概率

（1）随机性和规律性。

（2）概率和机会。从某种意义说来，概率描述了某件事

情发生的机会

（3）有些概率是无法精确推断的。

（4）有些概率是可以估计的。随机结果也具有规律，而且有可能通过试验等方法来推测其规律。我们就是要通过观测数据，在随机性中寻找用概率和数学模型描述的规律性

小概率原理是统计检验（统计中的反证法）的基础和依据。小概率原理是指在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。《数学课程标准》认为，“统计与概率”应当是初中课程内容的重要组成部分。不仅如此，《数学课程标准》将“统计与概率”内容从第一学段连续编排到初中，并且规定，在初中，学生将从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。《大纲》没有涉及“概率”内容，仅仅在初中阶段引入“统计初步”，并且将“统计初步”放入“代数的第（十三）部分”在《大纲》中，“统计初步”的定位是：使学生了解统计的展这一活动，有以下几个步骤：

第一，学生观察一件物体或一种现象，或者操作某些学具。

第二，学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足。

第三，老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性。

第四，这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花两个小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习进程中的持续性和稳定性。

第五，每个学生都记录活动过程。通过这一活动，学生逐渐学会操作，同时加强和巩固口头和书面表达能力，发展解决问题的能力，增进对数学的理解力。如何理解数学研究性学习

思想，掌握一些常用的数据处理方法，能够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。简单的平均数和加权平均数

所谓加权平均数，是指各个数据的“份量”不同，有的重要些，有的轻些，将它们的重要性用“权重”表示，即加上各个数据在全体数据中占有的比例（频率）再作和。数学期望的定义事前预期的好处，就叫做这件事情的期望值。第四章实践与综合

设置“实践与综合”领域目的在于体现其桥梁作用（即，数学不同领域之间的桥梁作用以及数学与外部之间桥梁作用）和综合价值，综合运用数学知识、技能、思想、方法等解决现实问题，帮助学生积累直接的数学活动经验，发展学生的综合能力。关于“实践与综合”的教育价值和课程目标

教育价值实践与综合领域的存在，沟通了现实世界中的数学与课堂上的数学之间的联系。另一方面，综合应用数学解决问题也必将给学生的学习方式带来改变。使学生发展了意志力、自信心和不断质疑的态度，发展了运用数学进行思考和交流的能力。

课程目标《全日制义务教育数学课程标准》对这个领域的课程设计提出了的总的要求：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。“实践与综合”在不同阶段不同的呈现形式第一学段以“实践活动”为主题，第二学段以“综合应用”为主题，第三学段(即初中阶段)以“课题学习”为主题。

在初中数学中，课题学习的主要形式有三种基本方式：

数学小调查。数学小调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，主动获得信息、分析信息并做出决策的学习活动。数学调查可以包括三个阶段，第一，进入问题情境阶段；第二，收集信息的阶段；第三，表达和交流阶段。这种活动具有开放性、问题性和社会性的特点。

小课题研究。活动基本过程如下：各小组确定活动目标；根据目标确定本组活动内容；在老师指导下实际调查。合作交流。

动手做(Handson)的活动。意思是动手活动，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。基本过程是：提出问题动手做实验观察记录解释讨论得出结论表达陈述。具体地说，开

数学研究性学习主要针对我国中学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出来的，其根本目的是让学生亲历研究过程，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”，研究是手段、途径，而不是目的。数学研究性学习的内涵

以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生为主体地参与、体验问题提出和解决的全过程。使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科数学研究性学习的目的

1.让学生经历科学研究的过程，获得亲身参与研究和探索的体验。

2.了解科学研究的方法，提高发现问题和解决问题的能力。

3.学会与人沟通和合作，学会分享。合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质，而研究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。

4.增强探究和创新意识，培养科学态度、科学精神和科学道德。在研究性学习的过程中，学生不可避免地会遇到一系列的问题和困难，学生必须学会从实际出发，通过认真踏实地探究，事实求是地得出结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度，同时培养不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等。

5.培养学生对社会的责任心和使命感形成积极的人生态度。

6.促进学生学习，掌握和运用一种现代学习方式。

7.激活各科学习中的知识储备，尝试相关知识的综合运用。8.促进教师教学观念和教学行为的变化，提升教师的综合素质，培养学生创新精神和实践能力，推进素质教育的全面实施。

初中数学研究性学习主题分为建模探究型、图表探究型、调查探究型、开放探究型四种类型。

（1）建模探究型：以学生动手操作、合作探讨、设计制作模型为主，教师给予指导、总结、评价。

（2）图表探究型：以学生观察、分析数学图表、探究解决问题的方法为主，教师提示结合相关知识分析、探究、解决问题。例如，数学图表的制作：“制作人口图”。

（3）开放探究型：以学生自主分析、小组讨论交流、大胆猜想、探究论证为主，教师给予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味数学问题：猜想、证明、拓广。

（4）调查探究型：以学生调查实践、自主分析、探究实践的方式和方法为主，教师适时引导、提示、总结。数学研究性学习的特点

1.探究性。探究是人类认识世界的一种基本方式，处于基础教育阶段的初中生对外部

世界仍充满强烈的新奇感和探究欲，数学研究性学习正好适应学习者个体发展的需要和认识规律。

2.全员参与性。研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。

3.开放性。数学研究性学习是一种开放性、参与性的教学形式，为了研究有关生活中的数学问题或从数学角度对其它学科中出现的问题进行研究。

4.过程性。要求学生把自己所得出的结论运用到现实生活中去，解决现实生活中涉及到的数学问题，强调学生参与的过程。

5.应用性。学以致用是研究性学习的又一基本特征。研究性学习重在知识技能的应用，而不在于掌握知识的量。

6.体验性。研究性学习不仅重视学习过程中的理性认识，如方法的掌握、能力的提高等，还十分重视感性认识，即学习的体验。数学研究性学习的实施保持和进一步提高学习数学的积极性。

（3）在实施过程中，要采取有效的手段对学习活动进行监控；指导学生写好研究数学日记，及时记载研究情况，真实记录个体体验，为以后进行和评价提供依据。

（4）要争取家长和社会有关方面的关心、理解和参与，与学生一起开发对实施研究性学习有价值的校内外教育资源，为学生开展研究性学习提供良好条件。

（5）能够根据学校与班级实施研究性学习的不同目标定位和主客观条件，在不同时段选择不同的切入口，形成不同年级的操作特点。

数学模型一般是指由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象(原型)数量规律和空间特征的数学结构。数学模型可以叙述为：对于现实世界的一个特定对象，为了实施要求：

①全员参与，而非只关注少数数学尖子学生竞争，给每个学生有锻炼与参与的机会；

②任务驱动。要向学生提出有明确具体要求的任务，发挥它对学生学习过程的引导作用；

③重在学习过程而非研究的结果；

④重在知识技能的应用而非掌握知识的数量；

⑤重在亲身参与探索性实践活动，获得感悟和体验，而非一般地接受别人传授的经验；

⑥形式上灵活多样，强调课内外结合。数学研究性学习模式有三种：

（1）理论实践模式。是指师生在共同学习研究性学习理论的基础上，学生运用数学理论来研究、解决数学问题，体验研究性学习课程理论的价值，提高综合能力的一种教学模式。

（2）数学问题探讨模式。师生围绕数学问题的分析与探讨展开的教学活动，构成了问题探讨教学模式。其基本理念在于：以激励、强化学生在教学过程中的主体参与意识为着眼点，以帮助学生学会学习，学会发现和分析问题，培养学生创造性解决问题的能力为宗旨，创设一种开放而又活泼的学习氛围。其教学策略是：将问题或案例呈现给学生，引导学生共同探讨，构建师生平等、互动的学习环境。

一般来说，教师要选择典型的数学问题或案例，不可平铺直叙地搬给学生，而要创造性地加以取舍，主动设疑，引导学生学会思考，提高学生的学习数学能力。

句怡美策划组精选榜单:
• 数学教师培训总结 | 儿童数学日记 | 数学培训心得 | 小学数学培训心得 | 儿童数学超前培训总结 | 儿童数学超前培训总结

（3）数学课题研究模式。数学课题研究模式是指教师提供课题或由学生根据兴趣设计研究课题，并在教师的指导下自主探索、实施研究计划、完成课题目标、提高社会实践能力的一种教学模式。

组织形式有三种类型：小组合作研究、个人独立研究、全班集体研究。其中一致认为小组合作研究是最基本、最有效、经常被采用的一种组织形式。数学研究性学习实施的一般程序

一般可以分为三个阶段：

（1）进入问题情境阶段（准备阶段）。主要任务是背景知识的准备；指导学生确定数学研究课题；组织课程小组、制定研究方案。

（2）实践体验阶段（实施阶段）。本阶段学生要进入具体的解决问题过程。

（3）表达交流阶段（结题阶段）。学生将自己或小组经过实践、体验所取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面或口头报告材料，得出结论，并进行成果交流和总结反思。数学研究性学习实施中的教师指导

（1）在初中不同的学段和年级，教师的指导工作内容和方法应该有所不同。

（2）在数学研究性学习实施过程中，教师要及时了解学生开展活动的情况，有针对性地进行指导、点拨；要组织灵活多样的交流、研讨活动，促进学生自我教育，帮助他们

一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模教学的目

使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实以及基本的思想方法和必要的应用技能。数学建模的教学意义

1.培养学生合作学习的能力合作能力是信息社会中每个人必须具备的基本素质。

2.培养学生处理信息的能力数学建模活动则为学生学习如何选择信息、获取信息和加工信息提供了一个有效的途径。

3.有利于学生形成正确的数学观数学建模活动的开展使学生形成正确的数学观成为可能。

4.有利于学生体验数学与生活、数学与其它学科的联系

5.激发学生的数学学习兴趣

6.发展学生的创新意识数学建模的具体实施1.选题

鼓励学生自主提出问题，可以从以下几个方面人手：

①让学生了解选题的重要性和基本要求，

②指导学生结合自己的生活经验寻找课题，也可由教师介绍往届学生的选题并加以点评，或者请本班同学介绍自己的选题计划，教师和学生一起分析其可行性，

③教师创设一个问题环境，引导学生自主提出问题、确定课题。这时教师的指导应该是有启发性的，不要代替学生确定课题，而是启发学生自己去延展、开拓问题链，让学生自己提出要解决的问题和解决问题的方案。

2.实施

在课题学习的实施中，我们强调开放学生的思维，强化过程体验，师生和生生的情感交流和成果共享。

3.指导

在课题学习中，教师如何指导学生，这是一个令不少教师感到困惑甚至苦恼的问题。课题学习过程中，问题形式与内容的变化，问题解决方法的多样性、新奇性，问题解决过程的不确定性，结果呈现层次的丰富性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战和有效的锻炼。教师在陌生的问题面前感到困难，失去相对于学生的优势是自然的、常常出现的。

4.评价

评价过程具体涉及以下几个方面：

①调查、求解的过程和结果要合理、清楚、简捷；

②要有自己独到的思考和发现；

③能够恰当地使用工具(如网络和计算工具)；

④采用合理、简捷的算法；

⑤提出有价值的求解设计和有见地的新问题；

⑥发挥每个组员的特长，合作学习得有效果。5.建立和扩张资源

对教育资源的认识应该走出静态的误区，要看到身边许多动态的教育教学资源。此外，通过查找相关的刊物和网站也可以发现大批的可用资源。我们还应有意识地建立自己个性化的信息资源库，它包括：前几届学生做的课题成果，如论文、研究报告、程序、制作的作品，以及活动过程的照片、研究课的录音或录像、其它学校学生的优秀成果等。生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。形式化使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。逻辑化在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系；这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。简明化数学概念具有高度的抽象性，借助数学符号语言，使得一定事物的本质简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会。概念的外延与内涵

概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。

一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。概念的内涵是说一个概念所反映的事物培养学生的数学应用意识、数学应用能力

实际教学中要强调学生的自主探索、合作交流和操作实践等学习方式。

（1）充分发挥学生的主体性。在学习过程中，教师可以向学生推荐活动，让学生在选择中有较强的自主性；同时，让学生独立思考和合作交流，在此基础上教师进行有针对性的指导。

（2）强凋学生学习方法、思维方法、学习态度的养成，关注学生的学习过程。课题学习活动强调学生主动学习，不宜强调对知识的学习，而且更重要的是强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的养成。

（3）创设恰当的问题情景，鼓励学生思考方法的多样化。在课题学习活动过程中，教师应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识。鼓励算法多样化，对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。

（4）对课题学习的评价应该以质的评价为主。一般说来，对学生实践与综合应用活动的评价要强调过程性评价。重点在于促进学生创新精神的培养和实践能力的提高，具备与人沟通及有良好的人际交往能力。而不是把学生贴上优秀、良好、不及格的标签。数学研究性学习的评价对建立学生发展性评价有哪些有益的启示

（1）研究性学习评价更重视过程。研究性学习评价学生研究成果的价值取向重点是学生的参与研究过程。

（2）研究性学习评价更重视理解中的应用。强调的是学生把学到的基础知识、掌握的基本技能，应用到实际问题的提出和解决中去既促进学生对知识价值的反思，又加深对知识内涵理解和掌握，形成知识的网络和结构。3）研究性学习评价强调学生在探究过程中的体验。

（4）研究性学习评价更重视全员参与。研究性学习的价值取向强调每个学生都有充分学习的潜能，为他们进行不同层次的研究性学习提供了可能性，也为个别化的评价方式创造了条件。第五章初中数学的逻辑基础

客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。

抽象化数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产的本质属性。

概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵。概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，二者是相互确定的。初中数学概念的特点

1、初中数学概念并非都是通过定义给出的

2.初中数学概念的层次性数学概念本身具有层次性。

3.数学概念是理想概念

4.数学概念是“过程”与“对象”的统一体数学概念之间的关系

1.同一关系两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。

2.交叉关系两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系.叙述上常用“有的”、“有些”等表示。

3.从属关系两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念B叫做下位概念或类概念。4.矛盾关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。

5.对立关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。

把一个属概念分成若干个种概念，揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分。在数学中常用划分把概念系统化。正确的划分应符合下列条件：

第一，所分成的种概念之间应是全异关系，即任两个种概念的外延的交集应是空集；第二，划分应是相称的，即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延；第三，每次划分都应按照同一个标准进行。在一次划分中用不同的根据就造成了混乱；第四，划分不应越级。应把属概念分为最邻近的种概念

数学概念的定义与要求

定义是建立概念的逻辑方法人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。定义的功能是为了明确讨论问题的对象。常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。常用的定义方法:

1.“种+类差”定义法属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。2.发生式定义法不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。

3.外延定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。真时，P假；当P假时，P真。

2.选言判断。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词“或者”构成的判断，一般记成AVB，读作“A或B”。

3.联言判断。联言判断是用连接词“且”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成A∧B，读作“A且B”。4假言判断。假言判断又叫蕴含判断，它是判断P为另一判断Q存在条件的判断，P、Q分别叫做该假言判断的前件和后件(或题设和题断，条件和结论)，一般用“若……，则……”，或“如果……，那么……”的形式表示，记成P→Q。解命题的涵义

关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。

4.约定式定义法由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。

5．关系定义法这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。

此外，中学数学中还有描述性定义法(如现行中学数学中关于等式、极限的定义)、递推式定义法(如n阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)，借助另一对象来进行定义(如借助指数概念定义对数概念)等等。定义数学概念的基本要求

1.定义应当相称。即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小2.定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。

3.定义应清楚、简明。定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。

定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。数学概念的形成

数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。

数学概念形成的过程有以下几个阶段：

1.观察实例。

2.分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。

3.抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。

4.确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。

5.概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。

6.符号表示。

7.具体运用。使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。

判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。

1.负判断。负判断是用连接词“非”构成的判断，一般记为┑P，读作“非P”，当P如何理解命题的分类

所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。关系命题关系命题是断定事物与事物之间关系的命题，关系命题由主项、谓项和量项三部分组成.复合命题命题真值的概念。

对于命题A、B，如果A是一个真命题，我们就说A的真值等于1，记成A=1；如果B是一个假命题，我们就说B的真值等于0，记成B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是1或0，不能既为1，又为0，或非l又非0。

复合命题的分类

复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。

否定式。给定一个命题A，用连接词“非”组成一个复合命题“非A”，

析取式。给定两个命题A与B，用连接词“或”组成一个复合命题“A或B”，合取式。给定两个命题A与B，用连接词“且”组成一个复合命题“A且B”蕴含式。给定两个命题A与B，用连接词“若……，则……”组成一个复合命题“若A则B”，记作AB

等值式。给定两个命题A与B，用连接词“等值”组成一个复合命题“A等值B”，记作“AB”公理与定理

不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。

任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。

经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式逻辑的基本规律

1.同一律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确

定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有两点具体要求：一是思维的对象应保持同一。二是表示同一事物的概念应保持同一。

2.矛盾律：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

3.排中律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。公式是：A∨，即A或。

排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。3．演绎推理是一种由

◉ 儿童数学超前培训总结

以前，我科研不太感兴趣，对如何撰写案例感到困惑，对如何反思小结自己的教育教学工作也感到很迷茫。通过这些方面的校本培训，我深受启发。我开始尝试写教学随笔、教育叙事。记得萧伯纳曾经说过这样的话:“你我是朋友，各拿一个苹果，彼此交换，交换后仍然是各有一个苹果。倘若你有一种思想，而朋友间互相交流，那么我们每个人就有两种思想了”。正是基于这种认识，我根据自己在课堂教学实践中发现的问题、疑惑或闪光点，写教学随笔，以反思自己的'教学情况，在平时的课堂教学工作中发现问题，研究探讨形成问题的原因，然后同事间相互交流、讨论，共同提高。面对疑难问题和困惑。我仿佛有了学习、进修的动力。其他老师也大抵如此。学期末，一个个充满智慧的教育故事就在我们老师们间竞相传阅，一个个富有启迪的教学案例让老师们茅塞顿开，一句句课改语录沁人心脾。

总之，我校以课程改革和教师专业发展的需要为核心，根据教师的需求和学校发展的目标来设计校本培训的内容，校本培训的内容涵盖了教育、教学、教研、科研等领域，培训形式也是丰富多彩。通过校本培训，我觉得我作为一名普通的教师在成长，在发展，在今后的日子里我将继续努力学习、探索、实践。

◉ 儿童数学超前培训总结

20xx年教师远程培训活动，再一次为我们教师创造良好的学习机会，提供了优越的学习条件。在培训期间，我积极参与学习，认真聆听名家视频讲座，学习了“数与代数”、“统计与概率”、“空间与图形”等知识理论，结合自身的教学工作，用心去领悟教育理论观点，积极参与研讨。这次培训使我在教学理论和教育观念上得到了大量的补充，反思了以往工作中的不足，同时也解决了一些教学中的困惑。通过学习，我深有体会，现将我本此培训后的心得体会总结如下：

一、新教育理念、提高教学认识。

通过培训学习，使我清楚的认识到新课程内容的增减与知识的分布；怎样把握知识的深度与广度，即专家们所提醒的在对学生讲解时应该把握的尺度；新的课程标准所提出的要求。使我不仅要从思想上认识到新课程改革的重要性和必要性，而且也要求自身的知识要更新换代，也是时代对广大教师的要求。教师是知识的'传播者决定了教师这一职业的特殊性，要想教给学生一碗水，自己必须是源源不断的泉水。通过学习，使我清楚地认识到新课程的内容是由哪些模块组成的，各模块又是由哪些知识要点组成的，以及各知识点之间又有怎样的联系与区别。对于必修课程必须讲深讲透，对于部分选学内容，应适学校和学生的具体情况而定。新课程的改革是为了更好的适应社会发展与人才需求而制定的。为了更好地适应社会发展与需求，作为教师理应先行一步，这样才能适应时代的要求，才能跟得上时代的步伐，为社会的发展与变革做出自己的一份贡献。

二、改进方法、提高教学效率。

通过培训学习，使我清楚地认识到整体把握小学数学新课程的重要性及其常用方法。整体把握小学数学新课程不仅可以使我们清楚地认识到小学数学的主要脉络，而且可以使我们站在更高层次上以一览众山小的姿态来面对新课程。整体把握新课程不仅提高教师自身的素质，也有助于培养学生的数学素养。只有让学生具备良好的素养才能使他们更好地适应社会的发展和进步。只有清晰地认识并把握好主线，才能更好地将知识有机地联系起来。参加这次国培学习，观看了专家专题讲座、评课，名师案例展示，他们的方法为我们今后的教学指出了方向。专家的讲座、名师的点评、同课异构，我们不仅感受到名师的风采，还将个人的智慧与集体的智慧融于一体是把握数学的主要脉络行之有效的方法之一，不同的人对待同一个问题的看法与理解角度和理解程度是不完全相同的。不同的思维模式会产生不同的讲课方式，不同的授课方式就会收到不同的效果。好的授课方式与方法能使学生轻松乐学，如沐春风；科学的思维模式，能使学生左右逢源，事倍功半；恰当的情景导学可以激发学生自主学习的兴趣和动力。

培训只是一种手段，一个开端，但它为我们提供了一个方向，为我们今后的自主学习提供了思路，我非常珍惜这个机会。希望经过这次的培训学习，我的教学管理能力能得到学校、家长、学生的认可，自己的工作能力和业务水平更上一个新的台阶。

◉ 儿童数学超前培训总结

作业

“叮铃铃”下学了，一天的学习结束了，可面临的又是重如泰山的“作业”。这不，杨老师又布置把我压得站不起来的、直喘气的作业吗！只见，老师像唱歌似的，从嘴中冒出一个又一个音符，比录音机说话都快。而同学们呢，拿出抄作业本，无奈的，从笔中“挤”出每一个字，哎！真是可怜天下学生心呀！

有人说：“作业是烈酒，令人充满激情”。有人说：“作业是咖啡，苦涩中含着浓浓的醇香”。有人说：“作业是果汁，清爽可口而温情脉脉”。我说：“作业是五味瓶，五味俱全”。

同学们，你们有时会感觉作业是一条绳子，不停的绕着，绕着，绕着，把人都绕在了一起，无法分开就像作业一样，写着，写着思想走了，作业一片糊涂；有时会感觉作业是一个炸弹，如果作业一天堆一天，谁想过，今天过去还有今天吗？再说，如果你不写作业，天天不写，终究，你会害了自己，就像炸弹炸死人，你想，炸弹不认人，只要你玩就会爆炸。

我们设想一下，如果一辆车内没有了方向盘、油门等重要零件，会怎样，它将成为一辆“废车”。如果我们每天不写作业，就知道玩，你知道这叫什么吗？这叫“废人”我说得“废”指的是，人没有肝脏，只有垃圾。作文

在这儿，我给大家提个建议，写作业前先制定作业表，先写什么，用多长时间，只要条理的安排，一定会在短时间内写出有效的作业。如果作业很多，不必担心，我告诉你一个保密意见，（不准外传呀）回家以后，先写一会儿作业，累了时，不要撑着写，可以先玩一会，等精力充沛时在写。

让我们一起写“好”作业！作文

实验二小五

每一个学生都有作业，无论是小学生、中学生、大学生，还是研究生、博士生。

我觉得无论在什么写作业都不能三心二意、马虎。做作业要认真审题，优生与差生的最大不同，就在于一个知道自己解决问题，而是一个则遇到难题便放着，或是直接问别人怎么做。

我来说说我是怎么写作业的吧！

我在写作业时，有时一心一意，有时三心二意。当在家里写作业时，没有伙伴叫我，妈妈也不让我看电视的时候，我就一心一意的写作业。我在学校写作业时我就要认认真真，不能放过没一题，任何一个算式，切保证不算错每一题。作文

我在这学期的打算是，一、认认真真写作业。二、要认真做完老师的每一个作业。

我是个闲不住的人。晚上八点半将学校作业和家庭作业做完后，感到很空虚。总觉得别人在家拼命的'做，自己在家不做很不划算。于是我便将《总复习》和《口算》拿出来做。如今，我的《口算》多做了12面，《总复习》也多做了5面，我感到这样每天都过的很充实。可老师却下达了一条命令：作业不准多做。

今天，当我翻开刚发下来的《总复习》，却发现我上面多做的几面被擦的一干二净。我不想知道是谁擦的，但我始终就是不明白：为什么不能多做作业？可能老师会回答：大家的作业要同步。可现在是紧张的小学升初中的复习阶段，作业量就像天气，忽多忽少。有时多得让人喘不过气来；而有时却少得似乎没有作业。趁着作业少时多做点，如果有一天作业量突然变多，不就可以减轻一点负担了吗？

我记得老师您也曾说过：学习要主动，而不能被动。我觉得做作业也应该学会随机应变。老师，您说呢？

我最讨厌写作业了，每天写完学校留的作业，还要写妈妈留的作业，真是忙死我了，现在都说要减负，怎么还有这么多的作业啊，烦死我了。

有时老师留的作业很多，做也做不完，我正着急着呢，妈妈就催我快点写他留的作业，真让我两头为难啊。有时候，我写不完作业，就要把闹钟跳到5点钟的时候，等到5点中田还没亮就偷偷摸摸的起来写作业，搞得我早上上学无精打采的，上课不好好听讲，成绩下降了，妈妈留得做也就更多了，我有时装睡躺在桌子上，妈妈看我学习的太累了睡着了，就把我抱上床去，那种感觉真好！

我想告诉所有的老师和家长：“给我们多留些属于我们自己的空间吧！

今天学校来了通知，明天回校上课，接到这个通知我心里想，只能快就上课了，我那最喜欢的电视剧就看不成了，不过学生以学习为主啊，没关系，下个星期再看也行。

不过要上课了，我这两天都没有拿作业来写，也不知道有什么要交的作业，这我要好好像想，不然老师就要骂我了，作为一个要求自己优秀的学生，是不能在作业的问题上出问题的，所以我一定要想起我到底有什么作业没写，也好几十完成。

今天我很开心，希望你也开心。

屯昌县南坤镇加握中心小学六

每天回家的时候，什么都忘了。

为什么作业没有忘？

每天成张成张的试卷，

一本又一本的作业。作文

唉！什么时候是个头啊！